聊天笔记

凌均坚

原创文章

图文：凌均坚

　　高健老同学：前一段时间，老同学群里风行猜谜游戏和数学习题问答，我虽不曾参与，但看到其中有些习题蛮有味，于是便凑趣在家自娱自乐编解了几道数学题。记得当年我们同在八中高32班读书时，你我都曾对数理化这几门功课情有独钟，可如今时过境迁，一晃五十多年过去了，也不知道老同学现在对数学还有没有兴趣，而我就贸然把这些习题转发给你，望见谅。　　

　　我所编解的这几道数学题的内容，其一是跟秦光同学当时在群里所出的题目基本相似，有一定难度，但又有所不同；其二是受柳英同学和华天同学完美而独到的解题方法的启发，我又增加了两道或许是难度更大、和内容更加全面的题目。我编解这些数学题的目的，是想通过微信聊天的方式、与老同学来共同分享数学的魅力和解题的乐趣，並浅谈一下自己对数学的严谨性与规律性的一些不成熟看法。笔记共分两部分。

第一部分：自编自解的数学题

第一题：解不定方程x³+y³+u³+w³=6992

 (注：其中未知数x y u w均为自然数，且x>y>u>w)

解：∵（20³=8000)>6992>(6859=19³）∴方程的最大未知数x<20 这4个未知数应在有限自然数集{0~19}之内 数0~19的立方数从小到大列表分别是0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000，1331，1728，2197，2744，3375，4096，4913，5832，6859

把原方程式移项得y³+u³+w³=6992-x³

当x=19时 则y³+u³+w³=6992-6859=133

从表中可找到合适的立方数並组合相加得

125+8+0=5³+2³+0³=133 ∴y=5 u=2 w=0

∴x=19 y=5 u=2 w=0是此方程的1组解

同理可求出x=17 y=12 u=7 w=2是此方程的第2组解

x=16 y=14 u=5 w=3是此方程的第3组解

 除此之外，x y u w的任何组合计算，方程均无解

第二题：解不定方程x³+y³+u³+w³=3968

(其中x﹥y>u﹥w且是等差为4的等差数列的自然数。)

解：∵(16³=4096)﹥3968>(15³=3375)

∴此方程最大未知数x<16

∵原方程4个未知数是等差为4的等差数列

依题意则原方程可变为

(w+12)³+(w+8)³+(w+4)³+w³=3968 (1)

展开方程(1)后，整理得4w³+72w²+672w-1664=0 (2)

方程(2)两边同除以4得 w³+18w²+168w-416=0 (3)

又∵原方程最大的未知数x=(w+12)<16 ∴w<4

即w有可能是0~3，分别以0，1，2，3代入方程(3)进行验算

只有当w=2代入(3)计算时 2³+18x2²+168x2-416=0

∴w=2是方程(3)唯一的解

得x=2+12=14 y=2+8=10 u=2+4=6

∴原方程的解是

x=14 y=10 u=6 w=2

或用因式分解法解方程(3) 得(W-2)(W²+20W+208)=0

∴W-2=0，W=2， 而W²+20W+208=0 (无解)

∴W=2是方程(3)的解

∴X=12+2=14 y=8+2=10 u=4+2=6 w=2

∴原方程的解是

Ⅹ=14 y=10 u=6 W=2

第三题：把m(≥4)个苹果按n个人一组次进行分配，规定每人每次至少要分一个苹果，且每次分法都不相同。假设n=4人(注：以n₄表示n，下同)，总分配次数为S₄ ，已知m=7(个) S₄=20(次) 又知m=8(个) S₄=35(次)

求：当m=30(个) 此时S₄=？

解：依题意，可知其中每人一次最多只可能分（m-3）个苹果，釆用排列组合可得到(m-3)个项，每一项的分配次数就是其中每个人分多少个苹果的次数，总分配数S₄等于每一个人所分苹果各项次数相加的总和，当m=7时，则7-3=4(项) 其中每一个人分4个苹果的次数为1，分3个的次数为3，分2个的次数为6，分1个的次数为10，∴S₄=1+3+6+10=20（次） 把上式各项乘以2/2 即得S₄=1x2/2+2x3/2+3x4/2+4x5/2=20(次)

当m=8时 则8-3=5(项) S₄=1+3+6+10+15=35(次)

即S₄=1x2/2+2x3/2+3x4/2+4x5/2+5x6/2= 35(次)

当m为≥4时，

则S₄=1x2/2+2x3/2+3x4/2+……+(m-3)(m-2)/2

把上式相加的各项分子分母再同时x3

得S₄=[1x2x(3-0)+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+……

+(m-3)(m-2)(m-1-m+4)]/2x3

=[1x2x3-1x2x0+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……

+(m-3)(m-2)(m-1)-(m-4)(m-3)(m-2)]/6

=(m-3)(m-2)(m-1)/6

∴当m=30时 得S₄=(30-3)(30-2)(30-1)/6=3654(次)

第四题：已知任何正整数都可以写成从3⁰，3¹，3²，3³…3ⁿ中取其中几个数，再进行相互加减计算的结果

求：分别写出下列①50，②200，③3000，④13250这几个数的计算结果

解：①∵3³<50<3⁴=81

∴50在有限正整数集｛1，2，3，4，……81}内

∴50=3⁴-3³-3¹-3⁰

=81-27-3-1

②∵3⁴<200<3⁵=243

∴200在有限正整数集{1，2，3，4，……243}内

∴200=3⁵-3⁴+3³+3²+3¹ -3⁰=243-81+27+9+3-1

③∵3⁷<3000<3⁸ =6561

∴3000在有限正整数集

{1，2，3，……6561｝之内

∴ 3000=3¹+3⁴+3⁶+3⁷

=3+81+729+2187

④∵3⁸<13250<3⁹=19683

∴13250在有限正整数集 {1，2，3，…19683｝之内

∴13250=3⁹-3⁸+3⁵-3⁴-3³-3²+3¹-3⁰=19683-6561+243-81-27-9+3-1

第二部分：对自编自解的数学题的几点补充说明

一、为活跃同学群的气氛，也为预防老年痴呆症，最近秦光在群里出了不少有趣的谜语、和精彩的数学习题而深受欢迎，不过其中有些数学习题也可能是由于过于深奥、或者还是因为其他方面的原因，让人琢磨不透而遭到质疑。例如他所出的解方程x³+y³+u³+w³=1408这一题，群里就有好几个老同学认为他出的题目有问题，说一个方程式怎么也解不了多元多次方程，並抱怨他的解方程提法是误导人。对此我是这样理解的：首先我认为，秦光是北大数学系的高材生，他一生都致力于数学的研究和应用，因此在我们所有老同学当中，他的数学天赋和权威是应当得到肯定的。不过人有其长，亦有其短。或许是因为他的数学天赋太高，而衬托出他的语言表达能力就有所欠缺。所以，即便他出的题目真有问题，那应当是他语言表达方面所造成的过错，如有误导，也决非他的本意。其次是我认为，解一个多元多次方程式的提法本身並无过错，但是这种提法得有一个前提，那就是这个方程必须是一种特殊的方程式，它只有在特定的条件下、而且主要是靠解不定方程的特殊方法才能完成的。遗憾的是秦光提问时向来言简，没有去设定这些特定的条件和方法，这样出题的不严谨而存在的一些漏洞，很可能就会对解题带来如下意想不到的结果。

　　(1)、可以肯定，上述方程如不用解不定方程的方法，又不假定其他条件，那是无法解的。这就证明了有同学所吐槽的，一个方程式是怎么也解不了多元多次方程的道理。

(2)像解x³+y³+u³+w³=1408这样的不定方程，如不假定未知数是自然数，就会出现未知数x，y，u，w为任一实数，此时方程有无数组解。

　　(3)虽已假定不定方程的未知数为自然数，但不假定未知数大小的排列顺序，这就会出现方程有一题多解。记得有一次黄江在群里转发一道题说是向秦光请教。题目已假定4个未知数都是自然数，去求方程x³+y³+u³+w³=6992的解。见题后不久，秦光就给出了一组x=19 y=5 u=2 w=0的答案。可是高健同学，不知你思考过没有，除了这一组外，还有x=17，y=12，u=7，w=2及ⅹ=16，y=14，u=5，w=3的另二组秦光並未答出来；而且由于黄江所出题目方程中虽注明未知数都是自然数，可並没有假定未知数x>y>u>w，所以每组答案虽是不同的4个自然数，但却因排列组合不同就会有24种不同的答案，三组一共有72种答案，所以秦光实际上还有71种答案未答出来呢。我想出现这样的情况既意外而又不意外，要说意外是没想到数学权威竟解答不全一般的数学习题，要说不意外那是因为秦光平时出题时就根本没考虑假定的因素，那么答题时他就自然考虑不到会有一题多解的结果。

　　由此可见数学的严谨性是如此之重要。看来今后出题解题都一定要慎重，该考虑的因素都要考虑，该注明的已知条件一定不能省。这是一个必须遵行的数学原则，我的第一部分所自编自解的第一道和第二道不定方程题，就是反复说明这个道理的。

二、作为猜谜算数等游戏场外的旁观者，我羡慕黄江、华天及柳英，因为他们三人都是这些游戏场中的佼佼者。三人当中，黄江是猜谜游戏高手，秦光几次所出的谜语他几乎一猜就中。而柳英和华天则数学基础扎实，头脑敏捷，思路清晰，解题快速，技巧独特，因此他俩都能非常完美地各自解出了秦光的一道数学难题。更有意思的是经过仔细思考，我发现他俩所解的数学题都有一定的规律。于是在他俩高超的解题技巧启发下，我便利用数学的规律性编解了第三和第四两道数学题。

　　(1)、如笫一部分所述，我自编自解的第三题，是把总数为m(≥4)个苹果按n(=4)人一组次(其中每个人都至少要分到一个)进行分配，这跟秦光按3人一组次分配的题目是一样的性质，但难度有所增大。为更好的说明问题，先还是回顾一下枊英是如何解答秦光的那道题吧。虽说秦光的那道题有些难，但柳英却以他扎实的数学功底，在牌桌上第一时间就列表算出了答案，做到打牌解题两不误，其速度之快，答案之准确，确实令人瞠目结舌。牌后，为弥补打牌时抢答而漏写公式的小失误，他又用排列组合的方法，推导出计算总分配数S₃的公式为(m-1)(m-2)/2，整个推导过程有理有据，就连秦光都为之赞叹不已。

我的4人一组分配与柳英3人一组分配的解题，都是采用排列组合的同一方法，也就是数学上所常用的，先由特殊到一般，再从具体到抽象，最后根据数学的规律性，归纳总结出带有普遍性的通用公式来。虽说两者解题方法相同，但解题的难度却不一样，4人一组的难度相对还是要大一些，所以它的计算公式也与3人一组的不尽相同。为寻找这个新公式，在推导过程中我曾两次变更公式，把式中相加的各项分别同时乘以2/2和3/3，最后终于得到了便于计算的新公式即S₄=(m-1)(m-2)(m-3)/(n₄-1)(n₄-2)(n₄-3)的通用公式。同理，二人一组和三人一组也可分别得公式，即S₂=(m-1)/(n₂-1) ，S₃=(m-1)(m-2)/(n₃-1)(n₃-2)，经过比较后我发现，原来这些公式都有同一规律，只要把S₂ S₃ S₄式分别再变式，变式后S₂=(m-1)(m-n₂)！/(m-n₂)！(n₂-1)！S₃=(m-1)(m-2)(m-n₃)！/(m-n₃)！(n₃-1)！ S₄=(m-1)(m-2)(m-3)(m-n₄)！/(m-n₄)！(n₄-1)！这时便可归纳出一个总公式 即S=(m-1)！/(m-n)！(n-1)！(其中m、n是正整数，且m≥n，n≥2)。有了这个总公式，解这一类型的题目就容易多了，解时只要把m、n的具体数据填入公式内，就能轻松算出答案来。

(2)、我编解的第四道数学题的灵感，完全来自华天完美题解的启发。要说华天解题完美，首先是他解题的速度快，因为当秦光的题目剛出来不久，当别人对那道4砝码称重40码的题目还是一头雾水之际，他就准确无误地算出了答案，其理解能力和运算速度确实惊人。其次是华天解题的方法更有独到之处，他充分利用平衡的原理、想出在天平两边放置不同的砝码来对冲相減的办法，用1克、3克、9克和27克这4个砝码的不同组合相加减，巧妙地称出了1~40克范围内各物体的重量，这独到的解题技巧更令人拍手称绝。不过对他的巧妙解法，我除了佩服之外，却又有些好奇，总觉得这题有些特别。再仔细观察，原来是这4个砝码数特别，它们竟都是3的多次方，而且都是依次从小到大的3的多次方，也就是说这些数之间存在有一定的规律。为寻找这个规律，于是便有了我第四题的编解。

　　华天在1~40克范围内称重的过程，其实质就是在有限正整数集{1~40}中求某数的运算过程，为便于解题，因此我所编的题就把称重改为求数的运算。在编题的过程中，我想既然有限正整数集{1~40}中的某数能由4个从3º开始连续的3的多次方数不同组合算出，那么其他数集中的数，也一定能用从3º开始多个连续3的多次方数不同组合算出。于是我仍釆用先由特殊到一般，再从具体到到抽象的方法，通过对这一题的解答，最后终于归纳出一条规律：那就是从3º、3¹、3²……3ⁿ的这(n+1)个数中，选几个不同的3的多次方数组合再分别加減所得出的数、根据需要可以组成多个有限正整数集{1~m}来，其中数集中的最大数m应大于3⁽ⁿ⁻¹⁾而少于或等于3ⁿ。

　　高健老同学，聊了这么久，我想应当是到结束我们话题的时候了。话虽说了这么多，——但你清楚我也明白，其实我只不过是一个好说闲话的事后诸葛亮。因为我的这些话题，都是在品读秦光的精彩编题、和柳英及华天巧妙的解题方法之后的有感而发。当然也有我个人对数学某些方面的不成熟探讨。因此，这其中肯定会有一些不足、或片面、甚至是错误的观点，不当之处，还请老同学多加指教。