巧解积最大和积最小问题

肖姐课堂

【肖姐课堂】

今天要与大家交流的是：“积最大和积最小问题”。欢迎同行或有兴趣的留言。😄

【问题原型】

问题始于女儿的一次数学家庭作业，人教版四年级上册数学教材第四单元P50页最后一道思考题。花了一节课的时间和她解释，女儿依然一脸茫然。我就在想，有没有更容易理解的思路呢？

肖姐开讲😬😬

【问题】

用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数相乘?

【解答】

• 分类讨论法

首先确定最高位为4和5，有下列6种情况：

最高位4 最高位5

①421×53 ④521×43

②431×52 ⑤531×42

③432×51 ⑥532×41

比较①⑤，得

421×53=420×53+1×53

531×42=530×42+1×42

因此①＞⑤；同理，依次比较 ，可得

②431×52是最大的。

• 调整法

先不看数字1，看2,3,4,5组成两个两位数，乘积最大，最高位为4和5，有

43×52 ，53×42两种情况，讨论得

43×52乘积最大；

再把数字1加在后面，有43×521，431×52两种情况，同样可得431×52是最大的。

• 贡献法

考虑加入数字0，构成两个三位数相乘，乘积最大，则0在末位。

首先最高位为4和5，于是

4□□×5□□，

先判断3在数字4后面还是在数字5后面，

若在4后面，贡献为30×5□□，

若在5后面，贡献为4□□×30，

因此填在在4后面更大；

同理讨论2，1，0，得431×520是最大。

即原问题中431×52是最大的。

• 最值定理

考虑加入数字0，构成两个三位数相乘，乘积最大，则4，5在首位，0，1在末位，2，3在中间，两个三位数和一定（为951），两数越接近，乘积越大，

因此是431×520是最大的，即原问题中

431×52是最大的。

【推广】

【形象记忆】

引入情境：姐妹俩挑数字卡片

卡片1、2、3、4、5

积最大：第一次挑时，妈妈不在场，姐姐霸道，先挑，选了个最大的数字5，妹妹眼瞅着不能吃亏了，马上选个第二大的4。这时，妈妈来了，批评了姐姐并罚她之后都不能先选 ，于是第二次妹妹得意地挑了第三大的卡片3，姐姐只好选卡片2。妹妹再选1，姐姐没得选了，于是得到积最大的情况

431×52。

积最小：妈妈一直在场，要求两姐妹从小往大选 ，不要抢，每次放出两个数字，姐姐先挑，妹妹随后。则出现，姐姐挑2，妹妹挑1，姐姐再挑4，妹妹挑3，最后一个5被姐姐挑走了，妹妹则没得挑了，得到积最小的情况：245×13。

这样是不是更容易记忆了呢？😎😎

想一想：【小练习】

1. 把9、8、5、4、0组成一个三位数乘两位数，乘积什么时候最大?什么时候最小？
2. 将2、3、4、5、6、7、8组成一个三位数和一个四位数，乘积什么时候最大?什么时候最小？