从鸡兔同笼谈思维

xgzcjc陈景成

从鸡兔同笼说开去

 “鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，其中蕴含着古代数学的归类、生活常识知识、动物习性等方面知识，通过对比，让学生从中找出异同，举一反三，进一步类推到三类事物及更多的思考，古代人们生活的环境就是鸡兔，现代人生活就远离这些，且融入新的元素，但分析问题的思路、方法是不变的，只要抓住关键，明确思路，问题都会迎刃而解，我们教育孩子深层次的抽象思维，不是一题一解、一题多解，而是更高层次的概括归纳，活跃思路，培养观察、分析、抽象、概括、类比、格物致知的能力。下面先介绍传统的解题方法：

问题：

今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 

   

1.列表法

       没错，就是列举，暴力破解，也是计算机中解决问题常有的思路。当第一组没有鸡有35只兔子的时候，一共有140只脚，跟94差36只脚，可以5只甚至10只的增加鸡的数量，根据脚的数量再进行微调……

 

2.金鸡独立法

       让每只鸡和兔子都做一个动作：用一半的脚站立。那么，地上还剩94/2=47只脚，每只鸡有一个脑袋一只脚，每个兔子有一个脑袋两只脚，47比35多出来的就是兔子的数，共12只兔子，也就知道23只鸡了。

 

3.听口令法

 

听口令：所有小动物抬起一只脚。地上还剩94-35=59只脚；

听口令：所有小动物再抬起一只脚。地上还剩59-35=24只脚。

鸡已经腾空，兔子双脚站立。于是24/2=12只兔子，鸡23只。

 

4.可乐鸡翅法

      鸡有2只脚，兔子有4只脚，鸡比兔子少两只，但鸡有2个翅膀啊，假设把2个翅膀变成2只脚，那么鸡和兔子都是4只脚了，应该有35*4=140只脚，可实际只有94只，多出的140-94=46就是翅膀数，46/2=23只鸡，也就知道12只兔子了。

 

       巧妙地利用头、脚数量之间的关系，加上各种假设和想象，能够组合出多种不同的思路。但说来说去都是数、数与数之间的关系。哎，这些假设又让单纯的孩子多了一层识记和烦思。

归纳：

兔数=（腿数-2*头数）/2

鸡数=头数-兔数

理解：假设鸡兔训练有素

吹一声哨 所有鸡兔各抬一条腿 即 一次剩余=腿数-头数

再吹一声哨 所有鸡兔再各抬一条腿 鸡全倒下 兔双腿站立

即 二次剩余=腿数-头数-头数=腿数-2*头数

于是兔数=二次剩余/2=（腿数-2*头数）/2

鸡数=头数-兔数

对于“鸡兔同笼”这种考题，常考的有这样几种类型的问题：

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数

或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

（4）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

5、方程式法

（1）　　一元一次方程

　　解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。

　　4x+2(35-x)=94

　　4x+70-2x=94

　　2x=94-70

　　2x=24

　　x=24÷2

　　x=12

　　鸡：35-12=23(只）

　　或

　　解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

　　2x+4(35-x)=94

　　2x+140-4x=94

　　2x+140-4x+4x=94+4x

　　2x+140-2x=94+4x-2x

　　2x=46

　　x=23

　　兔：35-23=12(只）

　　答：兔子有12只，鸡有23只。

　　注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

　（2）　二元一次方程

　　解：设鸡有x只，兔有y只。

　　x+y=35

　　2x+4y=94

　　（x+y=35)×2=2x+2y=70

　　(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)

　　y=12

　　把y=12代入（x+y=35)

　　x+12=35

　　x=35-12（只）

　　x=23（只）。

　　答：兔子有12只，鸡有23只。

归纳：

设鸡x兔y

头数=x+y

腿数=2x+4y

解方程求x、y

深度思考：

鸡兔同笼，说明鸡兔互不伤害，能够共同生活，兔有直立的警惕性，直立后两后腿站立。鸡兔同笼问题的关键是鸡兔的同与不同、同与不同总数问题等两方面组成。分析时切莫误入歧途：1、没有见过，2、数字多、头绪多，自己立即心里产生恐惧，3，时鸡，时兔，混淆视听，4、思维的单一性，5、抓不住关键、中心，找不准差异和共同性，6、画蛇添足，多此一举，7、大材小用，教初中的用初中的思维来给小学生辅导，8、没有回归自然，生活，自然、生活是解决问题的根本所在；9、手忙脚乱，因步骤多，环环相扣，就出现环节的失误，10、添油加醋，本来头绪多，环节多，再加入一些不必要的环节，增加思维负担，减负是关键，11、学生平时做题没有识记知识点的习惯和多步骤衔接的锻炼，12、隐性的对应：一鸡，一头，两腿，转换；一兔、一头，四腿，转换。

分析：

生活常识：一只兔有一个头四条腿， 一只鸡有一个头两条腿。共同的都是一头，差异一个四条腿，一个两条腿，拓展，多一个兔子多两条腿（对立面，少一只兔子少两条腿），头和腿各自的和（知道一类，用总数减）。

思路：共同：头数×2=共同腿数（有的资料假如全部是鸡）；

1、共同：头数×2=共同腿数（有的资料假如全部是鸡）；

多余的腿数÷2=兔头数=兔数，总头数-兔头数=鸡头数=鸡数，鸡头数×2=鸡腿数，兔头数×4=兔腿数

2、共同：头数×4=腿数（有的资料假如全部是兔）；

头数×4—总腿数=鸡的腿数，鸡的腿数÷2=鸡头数=鸡数

总头数—鸡头数=兔头数，兔头数×4=兔腿数。

抽象：

1、明确自然事物的对应关系，并熟悉事物各要素的关联，

2、找准共同的，明确不同的，

3、思考按照一方考虑，得另一方，若三者，先找共同的，求出第三者，然后求出共同两个的一方，第三方就迎刃而解，

4、看清题意，切莫得意忘形，思路对不一定全局对，步步为营是最稳妥的方法，得意忘形，往往会按传统思路走，特别是重要考试，你的思维尽在命题人掌控之中，关键字和问题的改动是必然的，考试题似曾相识，一看就会，一作就错的人大有人在。容易的考不到高分，是历年考生的共性，下考场高兴，分数下来，哭几天鼻子。

类似鸡兔同笼就迎刃而解了。试多析下面试题，看思路是否清晰了，其它类型的试题不妨总结一下。且听下回分解。

 鸡兔同笼”问题 练习题及答案

 

1．鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？

2．鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只？

3．一个饲养组一共养鸡、兔78只，共有200只脚，求饲养组养鸡和兔各多少只？

4．鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？

5．小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？

6．小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？

7．小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？

8．三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？

9．三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同学各有多少人？

10．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？

11．某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。其中男生平均得60分，女生平均得70分。求参加竞赛的男女各有多少人？

12．一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？

13．一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？

14．52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？

15．在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？

16．解放军进行野营拉练。晴天每天走 35千米，雨天每天走 28千米，11天一共走了 350千米。求这期间晴天共有多少天？

17．100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个？

18．有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对。问蜻蜓有多少只？（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀）

19．一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？

答案

1．鸡：16只，兔：14只

2．鸡：30只，兔：18只

3．鸡：56只，兔：22只

4．鸡：22只，兔：14只

5．20分的邮票25张，50分的邮票10张。

6．50分的邮票8张，80分邮票12张。

7．2分硬币52枚，5分硬币18枚。

8．捐了5元的同学有19人，捐10元的有11人。

9．捐2元的有27人，捐5元的有7人。

10．晴天2天，雨天6天。

11．求参加竞赛的女生15人，男生35人。

12．刘冬做对14道题。

13．刘冬做对16道题。

14．大船4只，小船7只。

15．小轿车22辆，摩托车10辆。

16．晴天共有6天。

17．大和尚有25个，小和尚有75个。

18．蜘蛛5只；蜻蜓7只；蝉6只。

19．强盗275人，狗85只。