话说数学励志公式（2）

鼎立

第天

工作量

每天

励志

一年

前一天

数学公式

次方

乘方

公式

早在2013年一位日本大学生在微博上发布了一张照片，并说：这是在日本某学校里贴的一张励志公式的海报，海报中写着：1.01的365次方是37.8；0.99的365次方是0.03”。意思是：365次方代表一年的365天，1代表每一天的要做的努力，0.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01。1.01（就是1.01=1+0.01）的365次方=37.78343433289 >1；0.99（就是1-0.01）的365次方= 0.02551796445229 <1；365天后，一个增长到了37.8，一个减少到0.03，差别太大了。

1.01与0.99原本只相差0.02，说明的是两者原本相差不大，但是经过两种不同的处理后其结果大相径庭，相差竟达1260倍！

　用这样一个简单明了的数学运算公式作为激励广告，是想教导孩子们懂得每天多做一点点，就可以积少成多，带来飞跃；每天少做一点点，就会不进则退，跌入谷底。欲励志图强、飞黄腾达，就需要踏踏实实、勤奋努力才能实现！于是乎便成为一个经典的励志口号，被网友转载到国内后，引发了中国年轻人的共鸣。 这个公式被网友解读为：“每天进步一点点，屌丝一年变富帅； 每天退步一点点，富美一年变挫矮”:

　又有网友举一反三：用“1.02的365次方等於1377.4和0.98的365次方等於0.0006”来这说明：只比你努力一点点的人，其实已经甩你很远了。

　还有网友又用“1.01的3次方和0.99的2次方的绩等于1.0098小于1.01”来这说明：三天打鱼两天晒网，将一事无成：

　这些理解和创意都不失为经典的警世名言，她能够发人深思、促人上进，因此深受广大网友们的普遍认同，争相传颂。

虽然这个励志数学公式所表达的本意已为大家所认同，但是在这几年的传播过程中不断有人提出许多问题。如这个数学公式是根据什么建立的? 37.8和0.03是指一年的结果还是年终最后一天（第365日）的结果？若是一年的结果为什么不用加合而用乘方等等。

之所以会产生这些问题，其原因是因为在文字表达中产生的一些误解而造成的。

几乎在所有关于这个励志公式涉及到的文章中，都无一例外的写到：”365天后，一个增长到了37.8，一个减少到0.03。”这样的表述是不够清晰，没有明确是指出这是一年或是一年的最后一天的结果；

再如：“0.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01”这种提法也可以被理解为在一年里每天分别多做0.01或少做0.01；也可理解为每天在前一天的基础上分别多做0.01或少做0.01。两种理解的不同，其结果会截然不同。因此，在这里有必要通过一些具体的数学运算分析给以说明。

（一）关于公式建立的根据：

这个励志数学公式是遵循了一个简单的最基本的数学原理：在乘方运算中，当底数大于1时,其结果必大于1，指数越大其值越大；当底数大于0小于1时,乘方运算的结果其值必小于1，且指数越大值越小，举例如下：

（1）1.01的乘方：（^--表示其后为乘方指数）1.01^50=1.6446； 1.01^100=2.7048； 1.01^150=4.4484 1.01^200=7.3160； 1.01^250=12.0326； 1.01^300=19.7685；

1.01^350=32.5447； 1.01^365=37.7834。

（2）0.99的乘方：

0.99^50=0.8050； 0.99^100=0.36603； 0.99^150=0.2215； 0.99^200=0.1340； 0.992^50=0.0811； 0.99^300=0.04904；

0.99^350=0.0297； 0.99^365=0.0255。

（二）励志公式建立的方法：

（1）按一般百分率增长的计算方法建立：

即 W=A×(1+C) W--为增长后的数量；A--为原来的数量：C--为增长（或减少）的百分率（%）。

按此方法励志公式中： W--为在前一天基础上增长后的数量；

A--为原来的数量1 ； C--为增长（或减少）的百分率（1%）；

每天增加后的的工作量和365天最后一天的工作量便是：

第1天为：1×(1+1%)=1×(1+0.01)=1.01

第2天为：1.01×(1+1%)=1.01×1.01=1.01^2

第3天为：1.01^2×(1+1%)=1.01^2×1.01=1.01^3

第4天为：1.01^3×(1+1%)=1.01^3 ×1.01=1.01^4

第5天为：1.01^4×(1+1%)=1.01^4 ×1.01=1.01^5

余可类推...................

第365天为：1.01^364×(1+1%)=1.01^365

每天减少后的的工作量和一年最后一天的工作量便是：

第1天为1×[1+(-1%)]=1×（1-0.01）=0.99

第2天为0.99×[1+(-1%)]=0.99×0.99=0.99^2

第3天为0.99^2×0.99=0.99^3

第4天为0.99^3×0.99=0.99^4

第5天为0.99^4×0.99=0.99^5

余可类推....................

第365天为0.99^364×0.99=0.99^365

（2）按复利计算的方法建立：

复利的计算是考虑前一期利息再生利息的问题，要计入本金重复计息，即“利生利”“利滚利”。复利计算,即规定一个结算利息的时间,到这个期结算一次利息,利息就加入下期的本金中作为计算利息的基数,计算公式:

本息和=本金×(1+利率)^n,

n就是一共要经过了多少个结算期。

即 W=A×(1+C)^n ； W--本息和；A--为本金：C--为增长（或减少）的百分率（%）；n为结算期。 按此方法励志公式中： W--为在前一天基础上增长（或减少）后的数量；A--为原来规定的数量（1） ； C--为增长（或减少）的百分率（1%）；n--为为结算期（1～365天）。

则每天增加后的的工作量和一年最后一天的工作量便是：

第1天为：1×(1+1%)=1.01

第2天为：1×(1+1%)^2=1×（1+0.01)^2 =1.01^2

第3天为：1×(1+1%)^3=1.01^3

第4天为：1×(1+1%)^4=1.01^4

第5天为：1×(1+1%)^5=1.01^5

余可类推...................

第365天为：1×(1+1%)^365=1.01^365

每天减少后的的工作量及一年最后一天的工作量：

第1天为1×(1-1%)=1×[（1+（-1%）]=0.99

第2天为 1×(1-1%)^2=0.99^2

第3天为 1×(1-1%)^3=0.99^3

第4天为 1×(1-1%)^4=0.99^4

第5天为 1×(1-1%)^5=0.99^5

余可类推....................

第365天则为 1×(1-1%)^365=0.99^365 。

（三）两种理解的不同结果：

前文讲到，如果按每天分别多做0.01或少做0.01与每天在前一天的基础上分别多做0.01或少做0.01两种理解的不同，其计算结果会截然不同。

（1）按每天分别都多做0.01计算：

每天增加后的的工作量及一年最后一天的工作量便是：

第1天则为1+1%=1.01； 第2天也为1.01

余可类推...................

第365天也为1+1%=1.01。

（2）若按每天分别都少多做0.01计算：

则每天减少后的的工作量及一年最后一天的工作量便是：

第1天为1-1%=1-0.01=0.99

第2也天为1-1%=1-0.01=0.99

余可类推...................

第365天也为1-1%=1-0.01=0.99。

结论：很明显按此方法建立起的数学公式每天增加和减少几乎没有变化。且年终最后一天多做和少做之差仅为0.02与励志公式显示的37.75相比差约为1887倍。因此用这样的数学公式来表述催人励志的美好愿望是没有说服力的。

（四）两种理解之全年工作量的比较：

（1）若按每天分别都多做1:或少做0.01计算：

则每天多做的工作量为（1+0.01），一年的工作量便是：

365×（1+0.01）=365×1,01=368.65。

一年仅多做368.65-365=3.65。

每天少做的工作量为（1-0.01），则一年的工作量便是：

365×（1-0.01）=365×0.99=361.35

一年仅少做365-361.35=3.65。

结果：一多一少相差无几。

（2）若按每天比前一天多做或少做0.01计算：

当每天比前一天多做0.01时，一年的工作量总和便是：

1.01+1.01^2+1.01^3+1.01^4+.....1.01^365。

按等比数列求和的方法计算一年的总工作量：

等比数列求和公式：Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)

其中Sn--为等比数列之和； q--公比(q≠ 1)； al--为首项；n--为比值。

在这里q=1.01； a1=1.01； n=365

则为：1.01×(1-1.01^365)/(1-1.01)=1.01×(1-37.78)/(-0.01)=1.01×(-36.78)/(-0.01)=1.01×36.78/0.01=1.01/0.01×36.78=101×36.78=3714.78.

比原定工作量每年多做：3714.78-365=3349.78

当每天比前一天少做0.01时，一年的工作量总和便是：

在这里q=0.99； a1=0.99； n=365

则为： 0.99×(1-0.99^365)/(1-0.99)

=0.99×(1-0.03)/0.01

=0.99×0.97/0.01=96.03；

比原定工作量每年少做：365-96.03=268.97；

以上运算、回答了以下问题：

（1）励志数学公式建立的原理：是遵循了一个简单的最基本的数学原理：在乘方运算中，当底数大于1时,其结果必大于1，指数越大其值越大；当底数大于0小于1时,乘方运算的结果其值必小于1，指数越大其值越小。

（2） 1.01^365代表的是每天都比前一天多做0.01,是一年中最后一天的实际工作量，其值为37.8， 是原定额〔1〕的 37.8倍；

0.99^365代表的是一年中每天都比前一天少做0.01,最后一天能完成的工作量其值只有0.03,是原定额〔1〕的 3／100。

（3）欲知二者全年的实际工作量，则分别把二者每天的工作量相加即得（见前文）。

每天都比前一天多做0.01时，则一年的总完成量为 3714.78,比原定工作量每年365多做：3714.78-365=3349.78。

当每天比前一天少做0.01时，一年的工作量总和值便是96.03,比原定工作量365每年少做：365-96.03=268.97；

一多一少相差也极悬殊。

这个励志数学公式之所以引起人们一致高度认同，是因为它告诉了人们励志图强的普通道理；那怕每天比前一天只有一点点进步，只要坚持下去，每一天乃至一年后就会取得骄人的成绩；反之，如果每天比前一天稍有一点点退步，曰久天长，将会一落千丈。如此巨大的差距，令人震惊，令人深思。

借用国之经典名言：“积跬步以至千里，积怠惰以致深渊”来诠释这道励志数学公式是再也贴切不过的了

注：跬步（kuǐ bù）--古指半步，跨一脚，跨两脚为一步；怠惰（dài duò）--指懒惰;不勤奋。

（对日本励志数学公式的解析仅供参考）