平面解析几何专题二-----圆锥曲线

启点教育

各位朋友大家好，今天我们来继续复习平面解析几何专题，这次我们主要梳理讲解的是选修中的圆锥曲线部分，这部分知识点整体难度较高，综合性比较强，我们会重点梳理出相应的知识体系及其常用的一些性质，以便大家在今后的考试中能够加以灵活的运用。

第一部分：椭圆

知识点一　椭圆的定义

什么是椭圆呢，我们是用动点的轨迹来定义的。对于平面内一个动点，如果这个动点满足这样的一个条件：动点到两个不重合定点F1、F2的距离之和 等于一个固定的常数(且该常数大于|F1F2|)，像这样的动点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距．

注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：

1．若a＞c，则集合P为椭圆；

2．若a＝c，则集合P为线段F1F2；

3．若a＜c，则集合P为空集．

知识点二　椭圆的标准方程和几何性质

 知识点三、椭圆性质

1．椭圆标准方程

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为 (m，n>0，m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．

2．焦点三角形

以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积．常见的结论如下：

(1)当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．

(2)焦点三角形的面积公式

当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值bc．

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．求椭圆离心率方法

方法1：直接法　直接求出a，c，然后利用公式 求解．

方法2：公式法　若已知a，b，可利用公式

若已知b，c可利用公式

方法3：构造法　将利用已知条件求得的等式整理为a，c的齐次式，然后等式两边同除以a2，如Aa2＋Bac＋Cc2＝0⇔A＋Be＋Ce2＝0．

方法4：在焦点三角形中，如果焦点三角形的两个底角分别为α和β，那么根据正弦定理可求离心率，

4.焦半径的性质：

椭圆上任意一个点P(x0，y0)，该点到左焦点F1的距离为|PF1|=a+ex0，该点到右焦点F2的距离为|PF2|=a-ex0.椭圆与x=±c相交所得的弦称为通径，通经长度为 。

5.切线性质：

在椭圆上任意一个点P(x0，y0)处的切线恒为： ，即把椭圆标准方程中的一个x和y分别换成椭圆上这个点P的横纵坐标得到的。而且在该点的切线还是以该点为顶点的焦点三角形的外角的角平分线。

第二部分：双曲线

知识点一　双曲线的定义

我们把到平面内两个不重合的定点F1、F2的距离之差的绝对值恒为一个固定常数(且该常数小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；

1．当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；

2．当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

3．当a＞c时，集合P是空集．

知识点二　双曲线的标准方程和几何性质

知识点三：双曲线性质

1．焦点三角形(以双曲线上的点P与两焦点为顶点的△F1PF2)

常用到的公式有：

(1)|PF1|－|PF2|＝±2a；    (2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2；

(3)双曲线中焦点三角形的面积公式 (设∠F1PF2＝θ)．

2．设双曲线方程的技巧

(1)与双曲线

有共同渐近线的双曲线方程可设为

(λ≠0)．

(2)若双曲线的渐近线方程为

，则双曲线方程可设为

(λ≠0)或n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线

共焦点的双曲线方程可设为

(－b2<k<a2)．

3．求双曲线的离心率的方法

(1)直接法：由题设条件及a2＋b2＝c2，直接求出a与c，利用 求解．

(2)公式法：

已知

，可利用

求解；

已知

，可利用

求解．

(3)构造法：由已知条件得到齐次等式：Aa2＋Bac＋Cc2＝0⇔A＋Be＋Ce2＝0．

(4)焦点三角形法：在焦点三角形中，如果焦点三角形的两个底角分别为α和β，那么根据正弦定理可求离心率，

4.双曲线的渐近线方程是把双曲线标准方程右边的1改为0所求得的；过双曲线焦点垂直于实轴的直线被双曲线截的弦长我们称为双曲线的通经，其通经长度也为 。

5.切线的性质

在椭圆上任意一个点P(x0，y0)处的切线方程恒为： ，即把双曲线标准方程中的一个x和y分别换成双曲线上这个点P的横纵坐标。

第三部分：抛物线

知识点一　抛物线的定义

我们把在平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的动点的轨迹称为抛物线（定点F与定直线l的关系为点F∉l）。该定点我们称为抛物线的焦点，该定直线我们成为抛物线的准线。

知识点二　抛物线的标准方程与几何性质 

知识点：抛物线的性质

1、抛物线焦点弦的处理规律

直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p．

(3)

(4)弦长 (α为AB的倾斜角)．

(5)以AB为直径的圆与准线相切．

(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°，即CF与 DF垂直．

2.在抛物线上任意一点P(x0，y0)的切线方程为：yy0=p（x+x0），即把抛物线标准方程中的一个x和y分别换成抛物线上这个点P的横纵坐标。

 第四部分　圆锥曲线的综合问题

识点一　直线与圆锥曲线的位置关系

1．从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．

2．从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.

由消元， 如消去y后得ax2＋bx＋c＝0，

(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．

(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac.

当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；

当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．

知识点二　直线与圆锥线相交时的弦长问题

1．斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点A(xA，yA)、B(xB，yB)，

则所得弦长

2．当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．

  知识点三　圆锥曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．

在椭圆

中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率

；

在双曲线

中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率

；

在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 .

AB为过椭圆 (a>b>0)的中心的弦，M为椭圆上异于A，B的任一点，则

AB为过双曲线 (a>0，b>0)中心的弦，M为双曲线上异于A，B的任一点，则