初三数学基础篇丨二次函数的图象变换：平移、对称与旋转

讷言敏行

顶点

二次

不变

相反数

对称

函数

图像

纵坐标

抛物线

开口

      刚刚学习了二次函数，需要对二次函数相关的知识进行总结，如图像的平移变换、对称变换及旋转变换的方法小结。在各种变换的题型中，如果我们能抓住图像变换过程中不变的量，就抓住了解这一类题的根本。

一、平移

① 二次函数图象平移规律（看字母m和k）：k决定抛物线沿Y轴平移，简称“上加下减”；m决定抛物线沿X轴平移，简称“左加右减”，具体规律如下（一般用顶点式进行转化）：

     通过观察平移前后的抛物线图像，容易发现二次函数图像的开口方向及大小不变【二次项系数a不变】。对称轴变化，顶点变化。应该把一般式转化为顶点式进行转化最合适。

二、对称与旋转

②二次函数对称的坐标规律：
（1）关于X轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数
（2）关于Y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
③二次函数图象的旋转规律：
（1）绕原点旋转180°，顶点横纵坐标与a全部符号变相反
（2）绕顶点旋转180°，顶点坐标符号不变，a符号变相反
（3）绕某一点旋转180°，顶点坐标用中点公式确定，a符号变相反

     可以看出，常数项c的变化仅仅影响二次函数图像的顶点位置。且始终在对称轴上做上下平移，图像与y轴的交点随之上下平移。二次函数图像的开口方向及大小不变。二次函数的对称轴不变。

(三)、对二次函数作平移、对称及旋转变换时的变与不变
知识链接
点的对称变化规律：

1.对称变换

1.1关于x轴对称变换

显然二次函数图像的开口方向变成相反方向且开口大小不变【二次项系数a相反】。关于x轴对称，与轴的交点纵坐标关于y轴对称【即k变成相反数】，对称轴不变【h不变】。

1.2关于y轴对称变换

显然二次函数图像的开口方向及大小不变【二次项系数a不变】。对称轴关于y轴对称【h变成相反数】，顶点的纵坐标不变【k不变】。

2.绕原点旋转

     显然二次函数图像的开口方向相反但开口大小不变【二次项系数a变成相反数】。顶点关于原点对称，顶点的横纵坐标均变成相反数【h变成相反数】、【k变成相反数】。

3.绕顶点或者任一点旋转
3.1关于顶点对称变换（绕顶点旋转180度）

显然用顶点式解决这个问题更方便，二次函数图像的开口方向相反但开口大小不变【二次项系数a变成相反数】。顶点不变，顶点的横纵坐标均不变【h不变】、【k不变】。

3.2关于任一点对称变换（绕任一点旋转180度）

3.3关于y=n对称

     显然二次函数图像的开口大小不变但开口方向相反【二次项系数a变成相反数】。对称轴不变【参数h不变】，顶点到y=n的距离相等q=2n-k

     根据对称的性质，显然无论做何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变，求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或者方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。