二次函数存在性问题|第七讲:菱形存在性问题

讷言敏行

一、知识复习

       我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.
     在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.
二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”,“方程思想”“菱形的判定方法”,势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.
        纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.

二、 解题模型

铺垫1：等腰三角形的构造方法

    点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.
    图1是以AB为底边（CA和CB为腰），作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1；
    图2是以AB为腰（AC=AB），以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2；
    图3是以BA为腰（BA=BC），以点B为圆心，以BA长度为半径作圆，交直线于点C3、C4；
    我们把上述作图方法简称为“一线两圆”.

铺垫2：平行四边形顶点坐标公式

     根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。
    ①两定点确定的线段为边作菱形
如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点，点D是平面内的一个动点.
以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形.
    作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下：
      以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.
    接下来需要确定点D的位置.以BC为对称轴作点A关于BC的对称点D，由于点C有两个点，确定下来的点D有两个.
     再以点B为圆心，BA长度为半径画圆，交直线l于点C3和C4，利用同样的方法作出点D3和D4.
解题策略：
     第一步：确定点C的坐标
    设出点C坐标，利用两点间距离坐标公式，表示出AB、AC、BC的长度.
    当AB=AC时，列出方程，求出点C的坐标；
    当BA=BC时，列出方程，求出点C的坐标.
     第二步：确定点D的坐标
根据平行四边形顶点坐标公式，可求出点D的坐标.
    ②两定点确定的线段为对角线作菱形
    如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是抛物线上一个动点，点D是平面内的一个动点.
    点C关于AB的对称点为点D，请作出所有符合题意的图形.
     作图方法：第一步：作出AB的垂直平分线；第二步：作点C关于AB对称点D.
     解题策略：
    第一步：求出AB的中点坐标和AB的斜率k，利用两直线垂直，斜率乘积为﹣1这个结论，设直线CD的解析式为y=﹣1/k+b，再把AB中点坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.
    第二步：联立直线CD和抛物线，可以解得点C的坐标；
    第三步：确定点D的坐标
    根据平行四边形顶点坐标公式，可求出点D的坐标.

三、 例题精讲

题型一：确定对角线

题型二:确定边

题型三: 边和对角线均不确定

四、总结反思

     1.总体思想：利用分类讨论、方程思想进行解题；
     2.分类的标准：以确定已知定点连线为边、为对角线进行分类讨论；
     3.列方程依据：利用中点公式得到平行四边形顶点坐标公式列方程组，或者利用直线与抛物线交点求出动点坐标。