奇阶幻方的算术构造及证明

包韦

奇阶幻方的算术构造及证明

题 记

为什么一条简洁的分布公式，就能填充幻方中的所有数字，且满足幻方的要求？这样看似无甚理由的上下、左右连加连减，就不会出现重复数字？因为存疑，所以证之。

本法构造的幻方，可依据算式定位一系列自然数后，再依照本构造法的排列规律，依次填写而得。具体构造的方法是：先建立两两垂直的两对坐标B、D轴与A、C轴（图一，坐标上的点，用格子代替，以便填数），通过如下分布公式

Nₘ=n₀ ±[Jm+2m(m-1) ]

(m= 0，1，2，3…)

确定各坐标格上的数字(坐标正方向取+号，负方向取-号)，再参照图一的排列规律，依次填写，即可方便得到任意阶奇数幻方。

式中，n₀ 是1至n²自然数数列的正中间数（n₀ =（1+ n²）/2） ；J称初进数，对应A、B、C、D轴，J分别为1、2、3、4；m是各坐标格子序号，原点序号为0，填n₀ 。可以证明，由此方法得到的幻方，每一行、每一列及两条对角线上的数字之和[称幻和S=n(1+ n²)/2]均相等，满足幻方的要求。

在证明前，我们把分布图图例说明及各坐标的分布公式综合在此，方便取用——

图例说明

1、符号﹢↑或﹣↑表示由下边的数加1或减1，符号+↓或﹣↓表示由上边的数加1或减1，符号﹢→或﹣→表示由左边的数加1或减1，字母后的﹢、﹣号，如Bₘ＇+或Aₘ﹣，表示本数加1或减1，箭头连写表示连加或连减。

 

2、对应的色彩，表示关联。定关联数时，从最外的格子数序M [ M表示n阶幻方的最大格子序号，M=(n-1)/2]，由外向里逐次填写为宜，其余类推即可。

 

3、同下标的一对数字之和，如Aₘ和Aₘ＇等，由分布公式易知，为1+n²=2n₀，称互补数。幻方中任意两个数之和等于2n₀，都称互补数。利用两数的互补关系，在求得坐标轴正方向上的数字后，可以快速确定坐标轴负方向上的数字，也可快速判断其他各对互补数。

各坐标分布公式

Aₘ =n₀+[m+2m(m-1) ]= n₀+2m²-m     

 Aₘ＇=n₀-[m+2m(m-1) ]= n₀-2m²+m

Bₘ =n₀+[2m+2m(m-1) ]= n₀+2m²       

Bₘ＇=n₀-[2m+2m(m-1) ]= n₀-2m²

Cₘ =n₀+[3m+2m(m-1) ]= n₀+2m²+m    

Cₘ＇=n₀-[3m+2m(m-1) ]= n₀-2m²-m

Dₘ=n₀＋[4m+2m(m-1) ]= n₀+2m²+2m   Dₘ＇=n₀-[4m+2m(m-1) ]=n₀-2m²-2m

n₀=(1+n²)/2     M=(n-1)/2

  Nₘ+Nₘ＇=2n₀         

 n₀=(1+n²)/2=2M²+2M+1

附一 无重复数的证明

我们先把构造分布图以四条坐标轴为界，分为8个区域（图一），根据分布公式和分布规律，导出8个区域的一般分布表式。要确定每个区域的一般分布表式，关键是确定每行（列）的空格数K与格子序号m的关系。由分布图容易看出，当m=1时，K=0；m=2时，K=1等等，即空格数与格子序号的关系，是K=m-1。

下面，我们先来求解各区域的一般分布表式——

区域①

由分布图可知，该区域是由横轴上的数字逐格减1得到的，也就是说，对于该区域来说，在格子序号为m的一般列上，分布着如下一组数字

Bₘ ，Bₘ -1，Bₘ -2，…，Bₘ -（m-1）。

这一组数字，构成了一个连续递减数列。为了比较的方便，我们把它转换成连续递增数列，并以如下的式子表达

Bₘ -（m-1）→Bₘ  

（在本文的表式中，符号→，表示由符号两端的两个数确定的一个递增（递减）数列。另外，为了表述的方便，我们把相差为1的两个数，称为“连续”。）

将分布公式Bₘ = n₀ +2m² 代入，求得该数列的一般表式为   

  n₀ +2m²-m+1→n₀ +2m²     （1）

区域②

由分布图可知，该区域的每行数字，是由C轴正方向上同序号的对应数字（Cₘ ）逐格减1得到的。所以，在格子序号为m的一般行上，分布的是如下一组数字     

  Cₘ -1，Cₘ -2，…， Cₘ -（m-1）。

同上，也把它转换成递增数列，则是

Cₘ -（m-1）→ Cₘ -1

将Cₘ 归在此数列中，则是

Cₘ -（m-1）→ Cₘ

由此，按分布公式Cm = n₀ +2m²+m，求得该数列的一般表式是

n₀+2m²+1→n₀+2m²+m（2） 

区域③

  由分布图可知，该区域的每行数字，是由A轴上的对应数字（Aₘ ＇）逐格加1得到的。所以，在格子序号为m的一般行上，分布着如下一组数字       

Aₘ ＇, Aₘ ＇+1,Aₘ ＇+2,…,Aₘ ＇ +(m-1)。

即             Aₘ ＇→ Aₘ ＇ +（m-1）

由此，按分布公式Aₘ ＇=n₀ -2m²+m，求得该数列的一般表式为

      n₀  -2m²+m → n₀ -2m²+2m -1 （3）

区域④

由分布图可知，该区域的每列数字，是由B轴上的对应数字（Bₘ ＇）逐格加1得到的。所以，在格子序号为m的一般列上，分布着如下一组数字     Bₘ ＇，  Bₘ ＇+1，Bₘ ＇+2，…，Bₘ ＇ +（m-1）。

即             Bₘ ＇→ Bₘ ＇+（m-1）

由此，按分布公式Bₘ ＇= n₀ -2m²，求得该数列的一般表式为

        n₀ -2m² → n₀ -2m²+m -1  （4）

区域⑤

  由分布图可知，该区域的每列数字，是由D轴正方向上同序号的对应数字（Dₘ ）逐格减1得到的。所以，在格子序号为m的一般列上，分布着如下一组数字    Dₘ-1，  Dₘ-2，…，Dₘ -（m-1）。

即              Dₘ-1 → Dₘ-（m-1）

将Dₘ归在此数列中，并转换为递增数列，则是

Dₘ -（m-1）→ Dₘ

由此，按分布公式Dₘ= n₀ +2m²+2m，求得该数列的一般表式为

     n₀ +2m² +m+1 → n₀ +2m²+2m （5）

区域⑥

由分布图可知，该区域的每行数字，是由A轴正方向上同序号的对应数字（Aₘ）逐格减1得到的。所以，在格子序号为m的一般行上，分布着如下一组数字     Aₘ-1， Aₘ-2，…，Aₘ-（m-1）。

即                 Aₘ-1 →Aₘ-（m-1）

将Aₘ归在此数列中，并转换为递增数列，则是

Aₘ-（m-1）→ Aₘ

由此，按分布公式Aₘ = n₀ +2m²-m，求得该数列的一般表式为

      n₀ +2m²-2m +1 → n₀ +2m²-m （6）

区域⑦

由分布图可知，该区域的每行数字，是由C轴负方向上同序号的对应数字（Cₘ＇）逐格加1得到的。所以，在格子序号为m的一般行上，分布着如下一组数字    

Cₘ＇+1，Cₘ＇+2，…，Cₘ＇+（m-1）。

即            Cₘ＇+1 →Cₘ＇+（m-1）

将Cₘ＇归在此数列中，则是

Cₘ＇ → Cₘ＇+（m-1）

由此，按分布公式Cₘ＇= n₀ -2m2-m，求得该数列的一般表式为

          n₀ -2m²-m→n₀ -2m²-1  （7）

区域⑧

由分布图可知，该区域的每列数字，是由D轴负方向上同序号的对应数字（Dₘ＇）逐格加1得到的。所以，在格子序号为m的一般列上，分布着如下一组数字  

Dₘ＇+1，Dₘ＇+2，…，Dₘ＇+（m-1）。

将Cₘ＇归在此数列中，则是

Cₘ＇ → Cₘ＇+（m-1）

由此，按分布公式Cₘ＇= n₀-2m²-2m，求得该数列的一般表式为

     n₀-2m²-2m→n₀-2m²-m-1    （8）

由此，格子序号为m的所有数字，排列成一个正方环。该环上所有数字，均已包含在上述8个数列中。我们把它们罗列在一起，便于对照——

区域⑧ n₀-2m²-2m→n₀-2m²-m-1

区域⑦ n₀-2m²-m→n₀-2m²-1

区域④ n₀-2m²→ n₀-2m²+m -1

区域③ n₀-2m²+m → n₀-2m²+2m -1

仔细对照上面的四个数列，不难看出，上一数列的右端（该数列最大数）比下一数列的左端（该数列的最小数），总是小1。也就是说，这四个数列的中间3对数字，是两两连续的，可以合并为一个递增数列

n₀-2m²-2m→n₀-2m²+2m -1 （9）

(下续)

(续上)

另外四个数列也罗列在一起

区域⑥  n₀+2m²-2m +1 → n₀+2m²-m      

区域①     n₀+2m²-m+1→n₀+2m²            

区域②        n₀+2m²+1→n₀+2m²+m

区域⑤    n₀+2m² +m+1 → n₀+2m²+2m    

     

仔细对照上面的四个数列，不难看出，上一数列的右端（该数列最大数）比下一数列的左端（该数列的最小数），总是小1。也就是说，这四个数列的中间3对数字，也是两两连续的，也可以合并为一个递增数列

     n₀+2m²-2m +1→ n₀+2m²+2m   （10）

比较（9）（10）这两个递增数列，由于（10）数列的最小数字总是大于（9）数列的最大数字，

  （n₀+2m²-2m +1）-（n₀-2m²+2m -1）

= 4m²-4m+2=4m(m-1)+2＞0    

(m=1，2，3，…)

由此说明，构成本幻方的同一正方环上的这两个数列，不存在重复数的可能。上述两个递增数列是就一般意义的m求得的，当然对任意m都成立。因此，我们得到一个普适结论:

结论一   任意正方环上的所有数字，都可以组成两个连续的递增数列，并且大递增数列的最小数总是大于小递增数列的最大数。因此，同一环上没有重复数。

现在我们来讨论，两个相邻的正方环上的两组数列的关系。

当格子序号m取m+1时，代入（9）式两端，有

n₀-2(m+1)2-2(m+1)→

n₀-2(m+1)2+2(m+1) -1

n₀-2m²-4m-2-2m-2→

n₀-2m²-4m-2+2m+2-1

即 n₀-2m²-6m-4→n₀-2m²-2m-1

上式跟原（9）式

n₀-2m²-2m→n₀-2m²+2m -1

比较，新数列的最大数（右端n₀-2m²-2m-1）比原数列的最小数（左端n₀-2m²-2m）恰好小1，即新数列的右端数字与原数列的左端数字是连续的。由此，可把两个数列合并为一个数列        

    n₀-2m²-6m-4→n₀-2m²+2m -1； 

当格子序号m取m+1时，代入（10）式两端，有

n₀+2(m+1)2-2(m+1)+1 →

n₀+2(m+1)2+2(m+1)

n₀+2m²+4m+2-2m-2+1 →

n₀+2m²+4m+2+2m+2

 即    n₀+2m²+2m+1 → n₀+2m²+6m+4

上式跟原（10）式

n₀+2m²-2m +1→ n₀+2m²+2m

比较，新数列左端的最小数（n₀+2m²+2m+1）比原数列右端的最大数（n₀+2m²+2m）恰好大1，即这两数字是连续的。由此，可把两个数列合并为一个数列

      n₀+2m²-2m +1→n₀+2m²+6m+4

比较这两个新递增数列，由于大数数列的最小数总是大于小数数列的最大数，

   （n₀+2m²-2m +1）-（n₀-2m²+2m -1）

=4 m²-4m+2=4m(m-1)+2＞0 

(m=1，2，3.，…)

比较这两个新递增数列，由于大数数列的最小数总是大于小数数列的最大数，

（n₀+2m²-2m +1）-（n₀-2m²+2m -1）

=4 m²-4m+2=4m(m-1)+2＞0

(m=1，2，3.，…)

由此说明，构成本幻方的两个相邻的正方环上的数字，没有重复数。

本结论是就一般的m、（m+1）环上得到的，所以具有普遍意义。也就是说，任意两个相邻的正方环上都没有重复数。

为了使这个结论更加可靠，下面再用数学归纳法证明这个结果。

我们把上面的结果，用下面的示意图加以直观说明：设格子序号为m时的小数数列的两端数字为a、b，大数数列两端的数字为c、d，而a＇、c＇等表示m+1时的新数列两端数字，则有

小数数列      …    a＇→ b＇    a → b，         

              …       m+1         m

大数数列        c → d，  c＇→ d＇   …

                           m         m+1        …

 

上面的结果告诉我们，当格子序号取m、m+1时，恒有

a - b＇= 1 ，    c＇-  d = 1

也可以表示为

a = b＇+ 1，    c＇= d  + 1

对照（9）（10）两式

n₀-2m²-2m→n₀-2m²+2m -1    （9）

n₀+2m²-2m +1→ n₀+2m²+2m  （10）

就是    

n₀-2m²-2m

= [n₀-2（m+1）2+2(m+1) -1 ]+1   

    n₀+2(m+1)2-2(m+1) +1

=（ n₀+2m²+2m） +1   

即    

n₀-2m²-2m= n₀-2（m+1)²+2(m+1)  （11）

n₀+2(m+1)²-2(m+1) +1

= n₀+2m²+2m+1      （12）

下面用数学归纳法来证明上面的结论——

当m=1时，（11）式 

  左边= n₀，右边= n₀ ，说明（11）式成立；

假设当m=k时，（11）式也成立，即

         n₀-2k²-2k= n₀-2(k+1)²+2(k+1)，

  当m=k+1时，有

左边= n₀-2m²-2m= n₀-2(k+1)²-2(k+1)

右边= n₀-2（m+1）²+2(m+1)

= n₀-2（k+1+1）2+2(k+1+1)

= n₀-2 [（k+1）²+2（k+1）+1]+2 (k+1)+2

= n₀-2 (k+1)²-4(k+1)-2+2 (k+1)+2

= n₀-2(k+1)²-2(k+1)

即  左边=右边

因此，对于任意的自然数m，等式（11）均成立。用数学归纳法，同样可求得等式（12）也成立。由此，我们得到结论二:

任意互为相邻的正方环上的所有数字，都可以组成两个连续的递增数列，并且大递增数列的最小数，总是大于小递增数列的最大数。

显然，组成幻方的每个正方环都是互为相邻的，整个幻方就是由这些互为相邻的正方环上的数字组成的。由此，我们得到总结论:

本幻方中的所有数字（正中间n₀除外），恰好组成两个连续的递增数列，并且大递增数列的最小数总是大于小递增数列的最大数，当然没有重复数。

 

(待续)

          

                                            

 

                                            

(续上)

  下面我们来求解这两个数列——

对于给定的n阶幻方来说，它的最大格子序号设为M，容易看出             

  M=(n-1)/2   →    n=2M+1

而正中间数      

n₀=(1+n²)/2   →   n²=2n₀ -1

根据这些关系，求得  

n₀=(1+n²)/2=[1+(2M+1)² ]/2

=(1+4M²+4M +1)/2

=2M²+2M+1

将n₀代入（9）式，并取m=M，有

n₀-2m²-2m→n₀-2m²+2m -1    （9）

2M²+2M+1-2M²-2M →

2M²+2M+1-2M²+2M -1

即得                  1 → 4M

将n₀代入（10）式，并取m=M，有

n₀+2m²-2m +1→ n₀+2m²+2m   （10）

2M²+2M+1+2M²-2M +1→

2M²+2M+1+2M²+2M

      4M²+2→ (2M²+2M+1+2M²+2M+1)-1

                 4M²+2 → 2 no -1

                 4M²+2 → n²

这两组数列 1 → 4M  和 4M²+2 → n² ，正是任意n阶幻方最大格子序号M正方环上的数字（用3阶幻方，M=1，可以快速检验）。

由此，上述两个数列，可表示为如下一般的表式，即

1 → n₀-2m²+2m -1             

n₀+2m²-2m +1 →n²

当m=1时，有

1 → n₀ -1              n₀+1 → n²

即包含了从格子序号1起到最大格子序号M为止的正方环上的所有数字。由此，连上中间数n₀，就是

1 → n₀ -1→ n₀→ n₀+1 →n²

即                     1  →  n²

也就是说，上述两个递增数列，连上中间数n₀，恰好是一个1至n²的自然数数列。

综上所述，根据本方法排列的幻方上的所有数字，恰好是1至n²的自然数n₀数列，没有重复数。（证毕）

附二 幻和的证明

一、 对角线上数之和

1、 A线（轴）

根据本幻方构造示意图（图一），A线上所有数字的和，可表示为

∑A=Aᴍ+…+Aₘ +…+ A₂+ A₁ + n₀+

A₁＇+ A₂＇+…+ Aₘ＇+…+ Aᴍ＇

式中，下标M指给定幻方的最大格子序号，

M=(n-1)/2

据分布公式

Nₘ=n₀±[Jm+2m(m-1) ]

(JA=1，JB=2，JC=3，JD=4)

易知 Aₘ+ Aₘ＇=2n₀（称互补数）

由此可知

∑A=Aᴍ+ Aᴍ＇…+Aₘ+ Aₘ＇…+

＋A₂+ A₂＇+ A₁ + A₁ ＇+ n₀

=M×2 n₀+ n₀=(2M + 1)n₀

=[2 (n-1)/2+1]n₀

=(n-1+1) n₀=nn₀

=n(1+n²)/2 。 (证毕)

2、同理可证明C线（及B、D线）之和为n(1+n²)/2 （略）

二、行之和

1、最上行之和

根据本幻方构造示意图，最高行所有数字的和，可表示为

∑₁ =Aₘ＇+ (Aₘ＇+1)+ (Aₘ＇+2)+ …+

[Aₘ＇+(m-1)]+Dₘ+(Cₘ-1)+

(Cₘ-2)+ …+[ Cₘ-(m-1) ]+ Cₘ＇

=m Aₘ＇+ [1+2+…+(m-1) ]+ Dₘ+

(m-1)Cₘ- [1+2+…+(m-1) ]+ C ₘ＇

= m Aₘ＇+ Dₘ+ mCₘ- Cₘ +Cₘ＇

= m (Aₘ＇+ Cₘ)+ Dₘ - Cₘ+Cₘ＇

代入分布公式，有

∑₁ =m(n₀-2m2+m+ n₀+2m2+m)+(n₀+2m2+2m) -(n₀+2m2+m)+ n₀-2m2-m

= 2m n₀+2m2+ n₀-2m2

= 2m n₀+ n₀=(2m + 1)n₀

这是Am＇、C m＇为最外格时的横轴上方的幻和一般式，即

∑₁ =Aₘ＇+… +Dₘ +…+ Cₘ＇

=(2m + 1)n₀ (称上幻和式）

将最大格子数m=M=(n-1)/2 代入，有

∑₁=(2m + 1)n₀=[2（n-1）/2+1] n₀

=n n₀= n(1+n2)/2 （证毕）。

2、最下行之和

根据本幻方构造示意图，最下行所有数字的和，可表示为

∑₂=Cₘ+ (Aₘ-1)+ (Aₘ-2)+ …+ [Aₘ-(m-1)]+ Dₘ＇+

(Cₘ＇+1)+ (Cₘ＇+2)+ …+ [ Cₘ＇+(m-1) ] + Aₘ

= Cₘ+ (m-1)Aₘ - [ (1+2+…+(m-1) ]+ Dₘ＇+ (m-1) Cₘ＇+

+[ (1+2+…+(m-1) ]+ Aₘ

= Cₘ+ (m-1)Aₘ + Dₘ＇+ (m-1) Cₘ＇+ Aₘ

=Cₘ+m Aₘ+ Dₘ＇+mCₘ＇- Cₘ＇

= Cₘ+ Dₘ＇- Cₘ＇+m(Aₘ+ Cₘ＇)

= n₀+2m²+m+ n₀-2m²-2m-( n₀-2m²-m)

+m(n₀+2m²-m+ n₀-2m²-m)

=n₀+2m²+2m n₀-2m²

=2mn₀+ n₀=(2m­+1) n₀

这是Cₘ、Aₘ为最外格时的横轴下方的幻和一般式，即

∑₂=Cₘ+ …+ Dₘ＇+…+ Aₘ

=(2m­+1) n₀ (称下幻和式）

将最大格子数m=M=(n-1)/2 代入，有

∑₂ =(2m + 1)n₀=[2（n-1）/2+1] n₀

=n n₀= n(1+n2)/2 （证毕）

3、横轴上方一般行之和

(待续)

          

                                            

 

                                            

(续上)

4、横轴下方一般行之和

对横轴下方序号为m的一般行来说，我们先来确定在Cₘ左侧（m+1）格c点的具体表式。如图，因为c点的数字，是由Dₘ+1逐格减1得到的，参照上面a、b等的讨论，易得

c= Bₘ₊₁- m

同理，d=Bₘ₊₂-m，左端最大格子序号为M的点= Dᴍ-m。本行右端对称格子的具体表式，参照c、d。由此，对横轴下方序号为m的一般行来说，本行所有的数字之和，可表示为

∑₄= (Dᴍ-m) + …+ (Dₘ₊₂-m)+ (Dₘ₊₁-m)

+ Cₘ + …+ Dₘ ＇+ …+ Bₘ+

+ (Dₘ₊₁＇+m) + (Dₘ₊₂＇+m)+ …+(Dᴍ＇+m)

考虑到下幻和式子

∑₂ =Cₘ+ …+ Dₘ＇+…+Bₘ=(2m­+1)n₀

利用上式并整理，有

∑₄= (Dᴍ+ Dᴍ＇)+ …+ (Dₘ₊₂+ Dₘ₊₂＇) +

(Dₘ₊₁+ Dₘ₊₁＇)-(M-m)m+

+(2m­+1) n₀+(M-m)m

=(M-m) 2n₀+(2m­+1) n₀=

=2n₀M-2n₀m+2n₀m+n₀=2n₀M+n₀

=(2M­+1)n₀=[2(n-1)/2+1]n₀

=nn₀ =n(1+n2)/2 （证毕）

5、最左列的证明

对纵轴最左方的列，本列所有的数字之和，参照构造分布图，可表示为

∑₅= Aₘ＇+ [Bₘ＇+(m-1)]+ …+

+(Bₘ＇+2)+ (Bₘ＇+1)+ Bₘ＇+

+(Dₘ-1)+ (Dₘ-2)+ …+[ Dₘ -(m-1) ]+ Cₘ=

= Aₘ＇+m Bₘ＇+[1+2+…+(m-1) ]+

+(m-1) Dₘ-[1+2+…+(m-1) ]+ Cₘ

= Aₘ＇+m Bₘ＇+m Dₘ- Dₘ+ Cₘ

= n₀ -2m²+m+m(n₀ -2m²+ n₀ +2m²+2m)-( n₀ +2m²+2m)+ n₀ +2m²+m

= n₀ -2m²+m+2 n₀ m+2m²-n₀

-2m²-2m+ n₀ +2m²+m

= 2mn₀ + n₀ =(2m + 1)n₀

这是Aₘ＇为最上格、Cₘ为最下格时的纵轴左侧的幻和一般式，即

∑₅= Aₘ＇+…+ Bₘ＇+ …+ Cₘ

=(2m + 1)n₀

将最大格子数m=M=(n-1)/2 代入，有

∑₅=(2m + 1)n₀ =[2（n-1）/2+1]n₀

=nn₀= n（1+n2）/2 （证毕）

6、一般列之和

对纵轴左方序号为m的一般列来说，我们先来确定在Aₘ＇上方m+1格e点的具体表式。如图，因为e点的数字，是由Aₘ₊₁＇加1得到的，f点的数字，是由Aₘ₊₂＇加2,得到的，这列最高点，是由Aᴍ＇加M-m得到的。同理，列下方的g、h及最低点的数字是Aₘ₊₁-1，Aₘ₊₂--2和Aᴍ-(M-m)，所以，对纵轴左方序号为m的一般列来说，本列所有的数字之和，可表示为

∑₆ = [Aᴍ＇+(M-m) ] + …+ (Aₘ₊₂＇+2)+ (Aₘ₊₁＇+1)+ Am＇ + …+ Bₘ＇+ …+ Cₘ+ (Aₘ₊₁-1)+ (Aₘ₊₂-2) + …+ [Aᴍ-(M-m) ]

参考最左列之和的式子

∑₅ = Aₘ＇+…+ Bₘ＇+ …+ Cₘ

=(2m + 1)n₀

并整理，有

∑₆ = (Aᴍ+ Aᴍ＇) +…+ (Aₘ₊₂+ Aₘ₊₂＇)+

(Aₘ₊₁+ Aₘ₊₁＇)+[1+2+…+ (M-m)]

+ (2m + 1)n₀ - [1+2+…+ (M-m)]

= 2n₀(M-m)+ (2m + 1)n₀

=2n₀M- 2n₀m+ 2mn₀+ n₀

=2n₀M +n₀=(2M + 1)n₀

将最大格子数M=(n-1)/2 代入，有

∑₆ =(2M + 1)n₀=[2（n-1）/2+1]n₀

=nn₀= n（1+n2）/2 （证毕）

幻方最右列及纵坐标右侧一般列的证明，参照上面的推导，也不难得到相同的结果（推导省略）。

由此，我们证明了——

根据本方法构造的幻方，每一行、每一列以及两条对角线之和，均有

∑=n（1+n²）/2

符合幻方的要求。 （全部证毕）

(续上)

附三 幻方构造举例

下面以根据上述方法构造的9阶幻方，简要说明其构造：

1、先根据上述分布公式求得各个坐标上的数字（图三）。

2、接着，先确定④③区域的数字：因为根据本方法的规律，这些数字都是由横轴上的数字直接加1得到的，并且贯穿A斜轴负方向上的数字，且刚好与之连续（如无问题，则基本可说明B、A轴数字无误）。

3、此后继续参照图一所示的构造方法，对照图三，可清楚发现：

1）①区域（桔色），横轴上的数字减1后，往上连减连写到C轴前止；

2）②区域（绿色），由C轴负方向同一序号的对应数字减1后，往右连减连写到C轴前止；

3）⑤区域（红色），由D轴正方向同一序号的对应数字减1后，往下连加连写到C轴前止（也可以直接由C轴对应数字往上连加连写到横轴得到）；

4）⑥区域（浅蓝色），由A轴正方向同一序号的对应数字减1后，往右连减连写到D轴前止；

5）⑦区域（紫色），由C轴负方向同一序号的对应数字加1后，往右连加连写到A轴前止；

6）⑧区域（红色），由D轴负方向同一序号的对应数字加1后，往下连加连写到A轴前止。

表述似乎有点繁琐，但参照图一，注意同色彩或粗体字，就很简单了。

本方法建立的幻方，有如下一些特点

1、所建幻方是一个多重幻方，从正中间开始，不管取几阶，都满足幻方的条件。

2、非坐标轴上的数字，以两斜轴为界，分别是关于横轴或纵轴的互补数(A、C两轴把整个幻方分为四个三角形区域，上下对顶的关于横轴对称的两数，都是互补的；左右对顶的关于纵轴对称的两数，也是互补的)。

3、各坐标轴正方向的数字求得后，对应负方向的数字，根据同轴坐标轴上对应（格子序号相同）格子的数字一定互补（两数相加为2n₀）的特点，用互补关系求得，会方便些。

4、为了快速求得坐标轴上的数字，每个格子上的数字，除了用普适公式求得外，也可以由已求得的前一个数字，根据两者的关系快速求得。前后两个数的关系，可由分布公式求得如下关系，即

Nₘ=Nₘ₋₁ +J+4(m-1)

也就是说，坐标轴上后一个数字，是前一个数字加上该坐标的初进数后，再加上若干个4（4的个数比该位置格子序号少1）。这样算比较代入公式容易口算。

后 记

最近百度了一下，不曾发现利用算术构造的幻方。所以花了半个月的时间，把多年前的奇阶幻方的算术构造法重新证明了一下，以便普通学生能够看懂。尽管普通幻方的构造，方法很多，但倘若先前真的无有算术构造的幻方，则其思路想必是有所裨益的。如果本方法对于数学、特别是幻方爱好者，能带来一定的启发，从而寻找出更简便的算术构造法（必然存在），当甚感欣慰。

匆匆写就，若有不妥，还望行家斧正。