题目:

从4台不同型号的等离子电视机和5台不同型号的液晶电视机中任意取出3台,其中等离子电视机和液晶电视机至少要各有1台,一共有多少种不同的取法?

假设: 已学得排列组合,加法原理,乘法原理基本概念

存在这样一种解法,我们来分析它。 以下 Cnm中的n为下标,而m为上标,属于组合C计法

由于等离子和液晶中都至少取一台,那么,我可以分成3个步骤:

step1: 任意取一台等离子电视机, 共有C41 = 4种取法

step2: 任意取一台液晶电视机, 共有C51 = 5种取法

step3: 在剩余的共7台电视机中,再任意取一台, 共有C71 = 7种取法

这种方法,可以保证等离子和液晶电视机至少各取了一台。由于是分成了若干步骤,所以,采用乘法原理。 故最后答案为: 4 × 5 × 7 = 140种

以上这种方式正确吗? 初看非常“正确”,很难看出是否存在问题。

(技巧!)此时,我们可以利用数学中的“值域”估算,来与“最值”做比较,从而排除“明显的错误”。

非常明显的,9台电视机,如果不加任何限制条件而随意选择3台,则其取法为C93 = 84 。 故而,84是最大值,而140 > 84, 所以,非常明显,我们的解答答案是错误的。

那么,我们的解法错在哪里那?正确答案应该是多少哪?

(技巧)在一种方式求得答案错误且很难分析错误在哪里时,可以尝试使用另外一种方法。

解法2: 此时,我们采用2个步骤,先取等离子电视机,再取液晶电视机。 注意,这两个步骤存在相关而非独立,故不能直接使用乘法原理(完全独立不相关的若干步骤,才可以使用乘法原理)。我们尝试把相关性去除,从而可以使用乘法原理。 而去除相关性,就是区分“方法”,就是加法原理。所以:

取法1: 等离子1台,液晶2台 独立,可以应用乘法原理

取法2: 等离子2台,液晶1台 独立,可以应用乘法原理

总取法= 取法1 + 取法2 = C41 × C52 + C42 × C51 = 70

答案70 < 84, 故相对而言是"可能"的答案。 实际情况也确实是正确答案

现在,我们再回过头来看看一开始的解法究竟错在哪里。

这里,其实我们已经看到了,好像答案数需要除以2, 即 140 ÷ 2 = 70, 所以,说明,这种解法存在了重复计算。

这里的核心,其实对乘法原理的本质理解。 乘法原理应用的必要条件是,步骤间事物的完全独立不相关,而我们使用3个步骤时,其实步骤3就存在问题,它与步骤1~2不是完全独立不相关的。因为,步骤3的电视机中取时,就会出现和步骤1~2中同种类的电视机,那么,就会出现一种组合的两次“呈现”,从而被计入2次,而其实应该只计入1。 比如, 我们以ABCD 分别表示等离子的4个电视机,而EFGHI为5台液晶电视机, 那么,3步骤方法时,假设某一次,我们取了 AEB, 那么,必然 BEA 这种取法也会被计入,但其实它和AEB是一种取法。

(技巧!)总结: 当使用乘法原理时,必须保证步骤间的独立性。 如果不独立,建议分解为加法原理。