导数的介值性——达布定理

湛

在高等数学里，我们学过闭区间上的连续函数的介值性，即任意两个函数值之间的数，都能被函数取到。

见连续函数的"零点定理"和"介值定理"。

在数学分析里，会讲到闭区间上的导函数也有这种介值性:，即任意两个导数值之间的数，都能被导数取到。并且导函数未必连续。

这就是导数的介值性。

先看一个特殊的情形。

导数的零点定理:

若f'(a)<0，f'(b)>0，则在(a,b)内至少有一点c，使得f'(c)=0。

证 由于 f'(a)<0，由导数的定义，

当x->a时，lim[f(x)-f(a)]/(x-a)<0。

根据极限的局部保号性，

在a的某个右半邻域内，f(x)<f(a)。

这说明f(a)不是最小值。

同理，f(b)也不是最小值。

f 的最小值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得，根据费马定理，有f'(c)=0。

点评: 这个证明涉及几个知识点(导数的定义，极限的局部保号性，费马定理等等)，综合性较强，有一定难度。

现在来讲一般的情形。

达布定理(导数的介值定理)：

若f'(a)<r<f'(b)，则在(a,b)内至少有一点c，使得f'(c)=r。

(即介于两个导数之间的任何数值r，都能被导数取到。这就是导数的介值性。)

证 作辅助函数g(x)=f(x)-rx，则它在[a,b]上连续。
又g'(a)=f'(a)-r<0，g'(b)=f'(b)-r>0。
所以g满足导数的零点定理的条件。

由导数的零点定理，存在c∈(a,b)，
使得g'(c)=f'(c)-r=0，即f'(c)=r。

其他证明(网上截图)

注: 运用达布定理很容易看出：若函数f(x)在[a,b]上可导，则f′(x)在[a,b]上不可能存在第一类间断点。

有关链接

 导数的零点定理

 导数的间断点