第二届HOPE卓越教师培训活动孙建克工作坊《数学与文史趣闻》PPT2.0版脚本注释

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孙建克《数学与文史趣闻》培训视频实录

孙建克《数学与文史趣闻》培训视频截图

孙建克，浙江省乐清市北白象镇中学一线数学教师、国家一级教师、乐清市骨干教师、洋葱数学全国能力排行榜冠军、HOPE卓越教师、HOPE卓越导师。2018年10月在北京举办的第二届HOPE卓越教师培训活动中，受教育部中央电教馆培训中心邀请，担任主题为《数学与文史趣闻》的创新领导力工作坊主讲。

《数学与文史趣闻》2017年10月在HOPE卓越教师群一经推出，就深受全国各地同行的欢迎，纷纷要求提供PPT1.0版及其脚本注释版。本文是2018年10月在第二届HOPE卓越教师培训活动中为工作坊《数学与文史趣闻》推出的PPT2.0版的脚本注释文章。

阿尔非诺·劳达尔，挪威奥斯陆大学（Oslo University）数学教授，阿贝尔（ABEL）数学奖发起人之一。他是公认的博学多识者，不仅在数学上成就突出，对音乐、美术等领域都有独到的见解。他认为："数学不仅仅是数字，它更是艺术。在没有被表达出来之前，大多数数学观念不是建立在逻辑的基础上的，而是直觉与美。"

谈祥柏教授是我国著名的科普作家，从事数学科普工作半个世纪。他与张景中院士、李毓佩教授一起，被人称为"中国数学科普的三架马车"。谈教授说："文学思维与数学思维一般认为两者天差地别，其实从美学观点看是一样的。"

今天我们将从数学与格言、数学与诗歌、数学与对联、数学与成语、数学与历史等五个方面撷取其中的一些精品来欣赏，以佐证中外两位教授所论非虚！

数学语言不仅用来表达和研究科学，而且可以精妙地表达人的思想、性格及追求。古今中外好多名人的人生格言都是用很简单的"数学"来表达的，不但言简意赅，而且深刻绝妙。这些格言折射出他们伟大的人生，更折射出数学之美。下面在这些名人中精心挑选出其中有代表性的八位最著名的格言，让大家体验一下用数学书写的人生格言何其精炼！

1、王菊珍的"百分数"

我国科学家王菊珍对待实验失败时有句格言,叫做："干下去还有50％成功的希望,不干便是100％的失败。"

2、托尔斯泰的"分数"

俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时,把人比作一个分数.他说："一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比分母.分母越大,则分数的值就越小。"

3、鲁迅的"比例"

中国近代伟大作家鲁迅在谈成功与劳动的关系时，他说："伟大的成功和辛勤的劳动是成比例的，有一份劳动就有一份收获，日积月累的人，由少到多，奇迹就可以创造出来。"

4、爱因斯坦的"公式"

近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A=x+y+z，并解释道，A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话。

5、华罗庚的"减号"

我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出："在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。" 

6、爱迪生的"加号"

大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说："天才=1%的灵感+99%的汗水。"

7、芝诺的"圆"

古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的："如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。"

8、贝多芬的"相似"

大音乐家贝多芬在谈到友谊时这样说："友谊的基础在于两个人的心肠和灵魂有着最大的相似。"

让我们也用这些用数学写成的格言来描绘自己的人生轨迹，那么我们的人生价值和对人类的贡献将是无可限量的。

数学中的数字（中文数字）本来颇为单调乏味，但一经过历代诗人们的艺术加工，倾注感情，不仅使诗句读来朗朗上口，而且变得有血有肉，精彩纷呈，给人以丰富的想象和不尽的韵味。下面举五个特别的例子，会使你拍案叫绝！

1、宋朝理学家邵康节写了这样一首《山村》诗："一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。"诗人在二十个字的诗中，巧妙地运用了一至十这十个数词，给我们描绘了一幅朴实自然的山村风俗画。

2、清代书画家、文学家郑板桥的《雪梅》诗这样写道："一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见。"全诗用表示雪花片数的数量词写成，读后就好像身临其境，飞下的雪片由少到多，飞入梅林，就难分是雪花还是梅花了。

3、"一篙一橹一渔舟，一个渔翁一钓钩，一俯一仰一场笑，一人独占一江秋。"这是清代政治家、文学家纪昀纪晓岚的十"一"诗。据说是乾隆皇帝南巡时，一天在江上看见一条渔船荡桨而来，就叫纪晓岚以渔为题作诗一首，要求在诗中用上十个"一"字。纪晓岚很快吟出该首诗句，既写了景物，也写了情态，自然贴切、富有韵味，难怪乾隆皇帝连说："真是奇才！"

4、宋朝大文学家苏东坡不仅文章写的好，而且书画方面也有很高的造诣，相传有一次他画了一幅《百鸟归巢图》，并且给这幅画题了一首诗："归来一只复一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千万食。"这首诗既然是题"百鸟图"，全诗却不见"百"字的踪影，开始诗人好像是在漫不经心地数数，一只，两只，数到第八只，再也不耐烦了，便笔锋一转，借题发挥，发出了一番感慨，在当时的官场之中，廉洁奉公的"凤凰"为什么这样少，而贪污腐化的"害鸟"为什么这样多？他们巧取豪夺，把百姓的千担万担粮食据为己有，使得民不聊生。你也许会问，画中到底是100只鸟还是8只鸟呢？不要急，请把诗中出现的数字写成一行：

1 1 3 4 5 6 7 8

然后你开动脑筋，在这些数字之间加上适当的运算符号，就会有1＋1＋3×4＋5×6＋7×8=100

100出来了！原来诗人巧妙地把100分成了2个1，3个4，5个6，7个8之和，含而不露地落实了《百鸟图》的"百"字。

5、相传西汉时，卓文君与司马相如成婚不久，司马相如便辞别娇妻离开成都去长安求取功名。时隔五年，不写家书，心有休妻之念。痴情的卓文君朝思暮想，等待着丈夫的“万金”家书。殊不知等了5年，等来的却只是一封写着“一二三四五六七八九十百千万，万千百十九八七六五四三二一。”的数字家书。聪颖过人的卓文君当然明白丈夫的意思，家书中数字无“亿”，表示丈夫已对她“无意”了，只不过没只说罢了。卓文君知丈夫已移情另有所爱，既悲且愤又恨，当即复书如下：

一别之后，二地相悬，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心抚弹，八行书无信可传，九连环从中折断，十里长亭我眼望穿，百思想，千系念，万般无奈叫丫环。万语千言把郎怨，百无聊赖，十依阑干，九九重阳看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香点烛祭祖问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我梳妆懒，三月桃花又被风吹散！郎呀郎，巴不得二一世你为女来我为男。

在卓文君的复信里，由一写到万，又由万写到一，写的明白如话，身泪俱下，悲愤之情跃然纸上，司马相如看了诗信，被深深打动了，激起了对妻子的思念，终于破镜重圆。

日常学习生活工作当中和数字打交道，时常会让人觉得枯燥单调乏味。但经文人之手，把数学完美地嵌入对联之中，却会产生神奇精妙的效果。令人拍案叫绝，别有一番情趣，请欣赏。

1、明代书画家徐文长，一天邀请几位朋友荡游西湖。结果一位朋友迟到，徐文长作一上联，罚他对出下联。徐文长的上联是："一叶孤舟，坐了二三个游客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。"迟到友人的下联是："十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今日一定要中。"跟上面卓文君的回信一样，徐把数字从一至十入依次入上联，而友则把数字从十至一依次入下联，可谓绝对！

2、"花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋。"这副对联是由乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数。上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141。

3、"冻雨洒人，东两点西三点； 切瓜分客，上七刀下八刀。"这是民间流传的一幅对联。它既是一幅对联，又是两则拆字谜语，读后细想，别有一番情趣。

4、四川一所乡村中学，一对数学教师结为夫妇，在元旦结婚之日，工会赠一幅贺联云：世事再纷繁，加减乘除算尽； 宇宙虽广大，点线面体包完。

5、某地一对新人，男的当会计，女的做医生，完婚之日，有人赠贺联一幅：会计合数检验误差重合数，医生开方已知病根再开方。

6、某市一对数学老师，几经波折，终于结为秦晋之好，同事撰一联相贺，联云：爱情如几何曲线，幸福似小数循环。

7、三强韩赵魏，九章勾股弦。

上联为数学家华罗庚1953年随中国科学院出国考察途中所作。团长为钱三强，团员有大气物理学家赵九章教授等十余人，途中闲暇，为增添旅途乐趣，华罗庚便出上联"三强韩赵魏"求对。片刻，人皆摇头，无以对出，他只好自对下联"九章勾股弦"。此联全是"双联"修辞格。"三强"一指钱三强，二指战国时韩赵魏三大强国；"九章"，既指赵九章，又指古代数学名著《九章算术》。该书首次记载了我国数学家发现的勾股定理。全联数字相对，平仄相应，古今相连，文理相合。华老这则妙对，开辟了数学对联的先例，在座的科学家无不叹服。

8、1981年4月，华罗庚到合肥中国科技大学讲学，同去的有张广厚、王元等著名数学家。中科大还专门派了一位医生倪女士照顾华先生。华老在中科大生活很愉快，每天傍晚由同住的数学家陪他散步、聊天，也说说笑笑。一天，华老在住处，突然诗兴大发，他看着倪医生笑着对大家说：“我出一个对子，你们来对一下：妙人儿倪家少女”。这个对子很难，其中“妙”字拆成了“少女”，“倪”字拆成了“人儿”，又与倪医生相应对。大家想了许久，实在想不出下联，最后还是由华老自己说出了下联：“搞弓长张府高才”。其中“搞”字拆成了“高才”，“张”字拆成了“弓长”，却正好又对着在座的数学家张广厚。大家惊叹不已，赞赏对联之妙。

9、这是汉淮阴侯韩信墓前祠庙门上的一副对联。该对联用到了两个数词且对仗工整，同时也概括了韩信生平的两个重要部分。满腹韬略的韩信，先在项羽部下从军，未被重视，后又改投刘邦麾下，仍未重用。韩信愤而出走，被丞相萧何连夜追回。在萧何的极力推荐之下，刘邦才封韩信为大将，遂建功立业，被封为淮阴侯。汉朝建立后，韩信受到刘邦的猜忌，怀疑其兴兵造反。而设计他入网的，恰恰又是萧何。后人有“成也萧何，败也萧何”之说，这就是上联“生死一知己”的由来。当初，韩信家贫，食不果腹，一位在河边洗衣的老妇人曾供养他十来天。可是韩信被捕后，把他斩于长乐宫的也是一位妇人——吕后。这就是下联中叹道的“存亡两妇人”的由来。

猜谜是一种非常有趣有益的智力活动。有一类谜语与数学有关，可以提高学习数学的兴趣。谜语是由谜面和谜底两部分组成的。今天出的谜面全是与数学数字算式有关，而谜底全是成语；或者谜面皆是成语，而谜底则都与数学名词有关，最后来一些成语算式结束，别有一番风味。这块内容可只有咱们中国人才玩得起呦！

掰开五个手指头，12345开始点数，"屈指可数"还记得吗？

把2和3接连起来写，绝对不能出现这种"接二连三"的书写错误！

数字"3"一群，"5"也一群，这样"三五成群"聚在一起好整齐呀！

这个3疯疯颠颠，这个4倒下来了，肯定是"颠三倒四"地干活！

23456789，前10个数字，缺了1（与衣谐音），少了10（与食谐音），那就是"缺衣少食"无疑啦！

一颗红心，红心里面有一个亿（与意谐音），表达爱意一定要"一心一意"！

没有（无）单数（单独的单），但有偶数，肯定"无独有偶"啦！

123456789中7被0取代，8失落掉了变成了12345609，所以就是"七零八落"！

123456789怎么变成1256789？哦！原来把3弄丢了，把4弄落了，干事情"丢三落四"可不行！

4被上下分开，5被左右裂开，可怜的4和5被"四分五裂"啰。

7被横着放，8被竖着放，这样的"横七竖八"可不雅观唷。

在太阳底下（天下），只有单数，而无双数，"天下无双"的当然就是我啦！

左边推一下3，右边阻止下4，应该要你干的事情可不能"推三阻四"哟。

全是奇（ji）数，没有奇（ji）数才怪呢，真是"无奇（qi）不有"！

数字串1，2，4，6，7，8，9，10把3隔离了，又把5岔（差）开了，就这样它"隔三差（岔）五"地出现了。

1000的平方等于1000000，但我就是要"千方百计"地把它计成三个100相乘！

1000乘以一成10%的上面分子10就会得到10000，这就是"成千上万"的数学解释。

100减去（无）1很显然等于99，如果连这个都做错，那么真的是"百无一是"了。

100去掉（无）1，出现00这种情况，100就消失了，那是"百无一失"的正确。

10000去掉(无）1，注意是去掉1，10000也会消失的，要做到"万无一失"，就会出现0000。当然“四大皆空”也是可以的，不过“万无一失”跟数学关联的更密切一点。

上面PPT上两边是16个数字或算式谜面，中间是16个备选成语谜底，请你把各自的谜面谜底搭配起来。

上面PPT上两边是16个成语谜面，中间是16个备选数学名词谜底，请你把各自的谜面谜底搭配起来。

完成上面成语加法算式，除了注意里面的数字进行加法运算，还需要想象意会。

继续完成上面成语算式，除了注意里面的数字四则运算，需要具备一些文史常识，还需要想象意会。

历史学是一门非常严谨的学问，已故历史学家郑天挺教授曾经说过：“治史应当力求字字有根据，句句有来历”，而数学恰恰是最精密、最严谨的科学，把数学思想灌输到历史研究中去，终于使历史统计学脱颖而出。利用数学原理研究历史，往往会得出一些令人惊奇又的历史新结论。下面仅举三个例子来反映这个主题。

北宋大画家张择端的《清明上河图》是中国的国宝。该长卷绢本设色，纵24.8厘米，横528.7厘米。对这些数据，各本书的记载基本一致。但是由于画上人物众多，大小不一，难以作出精确的统计，因此画上到底有多少人呢？各本书上的说法就打不相同了。历来认为：“清明上河图，全卷总计人物五百余，牲畜五十余，船只、车、轿共二十余。”

江苏省常州市的一位书法家汤先生认为：传统的说法太模糊、笼统。所谓“人物五百余”，从501人到598人，都可以说“五百余”，此种说法在古代也许无可厚非，但在科技昌明的现代，则有点说不过去了。

用照相术按照1:1的比例翻拍，或者放大，这对现代技术来说，这是轻而易举的事。汤先生终于得到了一副《清明上河图》的复制品。他立即动手，精确统计画上的人物。

汤先生的办法实在是简单得不能再简单：在画面的每一个人上放一粒米。统统摆放以后，再数一数共有几粒米。他反复数了好几遍总数完全相同，最后的答案是：《清明上河图》中一共有815人。原先说法的误差竟然如此巨大，令人惊讶！

这件事情说大不大，说小也不小，它充分表明：数学思想是无处不在的！运用之妙，全在有心人。解决本问题的思路很简单，其实只是用了数学上的相似变换（用照相放大）与一一对应原理（数米粒）。如此而已，岂有他哉！真是其薄如纸，一捅即破！

这张朱明王朝的帝王世系表，看似司空见惯，平淡无奇，可是其中却隐藏着十分奇妙的名字周期性现象！

原来，打从明太祖朱元璋的儿子一辈开始，他们的子子孙孙竟然是严格按照五行相生的程序来取名字的。这条“金科玉律”由朱元璋亲自制定，从明朝建国伊始一直到王朝覆灭，始终奉行，绝无更改。历时之长，令人咋舌，在中国历史上简直可以说是“前无古人，后无来者”。

五行相生的程序，说完整了，那便是“木生火，火生土，土生金，金生水，水水木”周而复设，循环不已。最后，吊死煤山的那位末代皇帝崇祯思宗朱由检，所取的名字正好轮到“木”字偏旁，恰恰与他的祖先，当年迁都北京，派遣郑和下西洋，雄才大略的永乐皇帝成祖朱棣经历了两轮循环。

不仅如此，在统一华夏的王朝倾覆以后，南明小朝廷的几位皇帝，例如福王由崧（弘光帝），唐王聿键（隆武帝），桂王由榔（永历帝），鲁王以海（监国），他们的名字中间全都嵌进了“金木水火土”，严格遵循五行相生规律而无一例外。

从夏、商、周“家天下”开始，一直到辛亥革命爆发，宣统皇帝溥仪逊位，中国这块土地上风风雨雨，经历了许多次的改朝换代，留下来的史籍之多，在世界上是首屈一指的。然而，明朝帝名的周期性现象，在《二十五史》中却是唯一的孤例。

如此明摆着的问题何以前人置若罔闻？究其原因：其一，明朝距我们年代较近，最后一位皇帝永历帝于1662年（康熙元年）在缅甸被吴三桂捕杀，迄今不过三百余年历史；其二，清初大兴文字狱，对于前朝史事又有谁敢去研究，而对一般热衷科举，为官作宰的人，更无兴趣去涉猎史料；其他原因或许也还可以举出一些来，但最根本的原因是前代学者未能应用今日科学的观点与眼光去处理史料所致。这也启迪了我们：自然科学与社会科学的相互渗透将能拓宽视野，另辟蹊径，从而为边缘性的科研工作与交叉学科提供显微镜与望远镜。

在古代的趣味数学问题中，最著名的莫过于约瑟夫问题了。该问题说的是：把若干个人排成一圈，从某个位置数起，每数到第m个就杀掉，最后剩下的是事先指定的几个人。这个问题很可能起源于古罗马军队中对士兵“逢十取一”的惩罚制度。在公元4世纪的一部著作里，一位以海格希普斯为笔名的作者告诉我们，约瑟夫（Josephus)就是利用这种方式挽救自己性命的。

故事梗概是这样的。当罗马人韦巴芗攻陷乔塔帕特之后，约瑟夫和另外四十个犹太人躲到一个山洞里避难。让约瑟夫失望的是，除了他自己和一名特殊的朋友外，其余39人都决心自杀以便不落入罗马人之手。尽管约瑟夫不愿意这样做，但他不敢公然提出反对，口头上只好同意。但是，他提出了自杀行动必须按顺序进行，并建议：所有人排成一圈，随意从某一个位置开始点数，每点到三的人拉出圈子杀掉，最后剩下的一位自杀。他把自己和朋友分别安排在第16和31个位置，成功地避开了死神。

在分别写于10世纪初、11世纪和12世纪的三部手稿里，也发现了约瑟夫这个问题。文艺复兴时期，卡丹·拉缪斯在其数学著作中的介绍则使这个问题得以迅速流传开来。后来，它被改编成新的版本：一艘载有15位基督徒和15位异教徒的船航行于海上。途中遇到风暴，波涛汹涌、孤舟无援、将要沉没。为了挽救船只，保全船员，必须将一半乘客扔到大海。于是，乘客排成一圈，从某一位置开始点数，每点到九，就把这个位置的人扔到大海里。问30人如何排列方能使所有基督徒幸免于难？

正确排列见“保留基督徒的排列（30人逢九取一）”图。图中的排列可通过下列诗句中的元音字母在英文字母表中的序号（a-1;e-2;i-3;o-4;u-5)来记忆：

From numbers’ aid and art , never will fame depart.于是便得一排数：4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1（C表示基督徒，T表示异教徒，从4个C开始）。

如果是每数到第十拉出一个扔到大海，则正确排列见“保留基督徒的排列（30人逢十取一）”图。可通过另一诗句中的元音字母在英文字母表中的序号（a-1;e-2;i-3;o-4;u-5）来记忆：

Rex paphi cum gente bona dat signa serena.于是便得到一排数：2 1 3 5 2 2 4 1 1 3 1 2 2 1（C表示基督徒，T表示异教徒，从2个C开始）。

后来的欧拉、舒贝尔都解决过更一般的约瑟夫问题。英国著名制谜大师杜德内的“猫捉老鼠”问题，古代日本在14世纪中叶和算最早的专著《尘劫记》中记载的“继子立”问题，中国民间故事“八仙定座”问题，这些本质上都可归结为约瑟夫问题。

约瑟夫问题从数学角度看就是数的循环排列问题，欧拉、舒贝尔一般的约瑟夫问题解决方法我还没找来看，但自从知道有这个问题后，经过独立思考，我把这个“约瑟夫生死问题”变种为更加趣味化又便于操作的“扑克牌听话问题”，进而也就解决了一般的“约瑟夫问题”！

我用一张扑克牌代替一个人，循环数扑克牌代替圆圈，以13张同色扑克牌为例（其实任何数量的扑克牌都行），从最简单的逢二取一开始，即把从A到K的13张同色扑克牌排列好，每点数到二，依次拉出A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，请问如何排列？如果是逢三取一呢？更难的是从逢几取几，即依次点数1到13，分别取出A到K的排列是怎样的？这就是我所说的“扑克牌听话游戏”！

以上排列答案分别是：

1、逢二分别按顺序取A-K的13张扑克牌排列：

7，A，Q，2，8，3，J，4，9，5，K，6，10.

2、逢三分别按顺序取A-K的13张扑克牌排列：

J，5，A，8，10，2，6，Q，3，9，7，4，K.

3、点几取几按顺序取A-K的13张扑克牌排列：

A，8，2，5，10，3，Q，J，9，4，7，6，K.

大家可以试一试扑克牌是否“听话”？想知道这些排列是怎样来吗？花点时间试试，相信聪明的你会有收获的，当然确实想不出来可以私聊我啦。

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中国的文化历史博大精深，与数学有关的内容更是浩如烟海，本文只是采撷了其中的几朵浪花，希望借此抛砖引玉，发扬"集群智，探模式，共成长"的HOPE精神，文理结合，开发出一些新奇、隽永、醇厚的东西，以便在中国文学里添加一些"调料"，在数学课堂上增加一点"趣味"，像洋葱数学一样，使我们的学生增加学习之趣，喜欢数学，学好数学，用好数学，这也是分享本文的初衷和归宿。

（以上《数学与文史趣闻》PPT2.0版素材参考了谈祥柏教授著的《数学与文史》和其它趣味数学文献及网络微信，某些资料无法找到作者以明确出处请见谅。本人花了一些时间收集和整理，曾经多次对部分数学兴趣班的孩子们开讲，课堂效果非常好，深受学生们的喜爱和欢迎。有兴趣的同仁老师们可以借鉴参考，是课外数学活动课较合适的材料。需要PPT的老师可以通过以上联系方式向我索取，讲解文字脚本可从本文拷贝下载。2017年10月25日本文前身《数学与文史趣闻》PPT1.0版脚本注释被《简书》"教育"专栏收录。2018年10月26日在中央电教管主办的第二届HOPE卓越教师培训活动本人主持的工作坊《数学与文史趣闻》获得央馆培训中心的鼓励嘉奖。2018年11月25日本文被《简书》“读书”专栏收录。2022年2月14日公开尘封三年多的该文反馈汇总，再次感谢大家的支持厚爱和关注点赞评论。）

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