“从一分为二到一分为三”——以“找次品”为例

喜文

次品

三分法

天平

推理

教学

这节

学生

内容

乒乓球

二分法

“找次品”这节课是经典的数学智力问题，一般安排在五年级下册。这个内容我上过几次了，但每次都有不同的问题。

本节课的内容多，心太急，教学目标难以确定，例题选择也需要多加考虑。这节课综合了操作、观察、猜想、验证、归纳、推理等活动，再加上“找次品”的内在规律具有隐蔽性，一堂课下来，学生们一头雾水。原本设计的通过优化策略、记录推理过程，懂得化归思想，进而总结，统计，观察，再发现规律，结果发现这一目的根本实现不了！

这么多的内容，一节课肯定是学不完的，那学生们到底该学些什么？怎么寻找优化策略？为什么要“尽可能平均分成3份？”(将待测物品分成三份去称)是最主要的内容么？教学时是不是应该直奔这一主题？这些都是这节课的难点！读了华老师的这篇文章，被他别出心裁的教学设计和深入浅出的讲解吸引着。

华老师从比尔盖茨的招聘题目“假定你有81个乒乓球，其中只有1个球比其他球稍重。如果只能利用没有砝码的天平，请问你最少要称几次才能保证找到较重的球”引入，设计了从2个、3个、4个、8个、9个、81个球中找次品等一系列教学环节。每个环节都目标明确，环环相扣，层层递进。整节课听下来，感觉学生“找次品”的过程就像登山，虽然山路蜿蜒曲折，但一步一景。

本课自始至终紧紧围绕“保证找出次品”“既要保证找出次品，又要用最少的次数”这两个基本问题，华老师的教学包含了大量类似“如果......那么......”的演绎推理，又包含了从若干特殊实例中得出一般性结论的归纳推理。让学生经历推理的过程，掌握推理的方法，体会推理思想。

在学生讲述推理过程的时候，华老师多次强调“第三个盘子”的概念，引导学生完成从二分法到三分法的转变。事实上，在任何一次称量的过程中，球所放的位置一定是三个位置中的一个，即天平的两端和天平的外边。所以，不管怎么分，实际上都是在运用三分法进行称量。二分法也可以看成是三分法的一种特殊情况，即天平外的数量是0。我们用(a,a,b)来表示三分法的结果，其中a表示天平两端放乒乓球的数量，b表示天平乒乓球的数量。因此，三分法并不是最优方案的关键，关键是a和b要尽量接近。这一点也是本节课的难点。

看完本节课内容后，我相信以后再教授本节内容一定会有所不同！