相关运动速度分类解法

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相关运动速度分类解法

 

安徽 束 义 福

 
相关运动，是指存在看某种联系的一个物体或几个物体的运动。研究相关运动中物体或几个物体的运动量（位移、速度、加速度……）之间的关系，显然是比较复杂的，也比较困难，因为这种关系与联系方式及运动的限制条件有关。这就需要我们根据运动量的一些特性，依据实际的联系情况与限制条件，选择合适的参照物，通过分析，选用适当的方法，从而找出正确的解题途径，求得准确的答案。
相关运动可分为直接联系和间接联系两大类，根据相互联系条件又可分为绳（杆）约束类、面约束类、投影约束类，下面分类举例介绍各类相关运动速度的求解方法。

相关运动可分为直接联系和间接联系两大类，根据相互联系条件又可分为绳（杆）约束类、面约束类、投影约束类，下面分类举例介绍各类相关运动速度的求解方法。
   物体间通过不可伸长的绳（或钢性杆）相互联系叫绳（杆）约束。由于绳（杆）是不可伸长，不可压缩，因此，物体沿绳（杆）方向速度相等。

一、约束类

1、分解法   一个速度矢量，原则上讲，将其分解成两个速度分矢量只要符合平行四边形法则就行。但
在这无数种分法中，应选取具有实际意义的分解。
例1：物体通过定滑轮的绳PQ被一辆车从井中提升，如图1，当车在B点时速度为B，井中物体速度多少？
解析：车和物与绳相连，故二者沿绳方向速度相等。物体的本身就沿绳车的速度VB沿绳方向的分量为VBcos45°，见图1，于是有：。

2、比例法  当问题所涉及的公式只有乘除运算，没有加减运算时，可考虑使用比例法。
例2：如图2所示，每一对大小轮均共轴。已知r1、R1、r2、R2……rn、Rn及P点的线速度u1，求第n个大轮缘上P′点的速度。
解析：因各共轴轮中的大小轮角速度相同，故可设为ω1、ω2、……ωn，又设各共轴大小轮缘上的点的线速度分别为V1、1、、V2、2……Vn、n。依题意有：
V1=R1ω1
1=r1ω1     
由以上两式得         ……
同理  
由以上两式得     ……
同理。
由皮带传动特点可知v1=2、v2=u3……vn-1=un。
所以所求P′点的速度为

3、动能定理法：当问题涉及有功能关系时运用动能定理求解速度关系十分简便。
例3：质量为m和M的两物体（M>m），用轻绳连接，绳跨过摩擦忽略不计的轻滑轮，m放在倾角为Q的光滑斜面上，最初两物体处于如图3所示位置上，其竖直高度之差为H，若两物体从静止状态开始运动，求证：当M降到与m在同一水平面上时，两物体的速率为多少？
解析：两物体开始运动后，各自都遵从动能定理。因此有：
     ①    Th-mghsinQ=    ②
又，h+hsinθ=H     ③     M=m                   ④
联立解得

4、功率相等法    当两物体直接相互作用或通过无能量储存和消耗的第三者作用时，相互作用力的做功功率应相等。因而用功率相等法解相关速度简便快捷。
例4：如图4所示，绳的质量及形变不计，当P的速度为向左时，系P、P′的绳分别与水平线构成、角，求此时′的大小。
解析：因绳子内部张力处处相等，设为T，绳子不消耗能量，所以P对绳子做功的即时功率与绳子对P′做功的即时功率相等。从而有：Tcos=,即。
5、守恒法   当题设条件符合守恒条件时，可考虑守恒法求解，其突出的优点是不需考虑复杂过程，只注意它的初末状态即可。
例5： 如图5，一半圆形碗的边缘上装有一定滑轮，滑轮两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个物体，质量分别为m1、m2，m1>m2.现让m1从靠近定滑轮处由静止开始沿碗内壁下滑。设碗固定不动，其内壁光滑、半径为R，则m1滑到碗底最低点时的速度为多少？
解析：认真分析题意和审图知，由于滑轮左边连接m1的细线有摆动，即m1的速度方向不沿绳子伸长的方向，因此m1与m2的速度不相等，如图6。在竖直方向下降了R，但其位移为应为。根据机械能守恒定律及运动分解知识可知：，又，
解得。

6、等量关系法   在一些问题中的不变量或等量关系较明显，有的则较隐含，解题中若能挖掘到等量关系，由此找到解题思维起点，解题的思维活动便可顺利进行。
例6：长度为L的直杆斜靠在墙角处，某时刻起它在竖直平面里开始滑动，某时刻起它在竖直平面里开始滑动，当下端B与墙角相距x时，B端沿水平方向的速度为（图7），求这时杆的上端A沿墙壁向下滑动的速度多大？
解析：问题条件给出杆是刚性的，即杆不会发生形变，这就隐含着在任一时刻A、B两端的速度沿杆的方向的分速度相等这一等量关系，即，也即，从而有：
、    其中x\u003CL。

7.连结点分解法   选取合适的连结点，该点必须是能明显地看出参与一个分运动的点，确定该点的合速度（实际运动的速度即为合速度）。最后再分析该点参与了哪几个分运动。
例7：一根长为L、O端用铰链固定，另一端连着一个小球A的棒靠在一质量为M、高为h的物块上，如图8，若物块与地面间的摩擦不计，试求物块以速度向右匀速运动时，小球A的线速度（此时棒与水平面夹角为）。
解析：选取物块与棒的接触点B为连结点（不选取A点是因为A点与物块速度V的关系不明显）。因B点又在物块上，该点的运动方向一直不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度为物块的。B点在棒上的运动是沿棒向A点滑动，同时又参与了转动，故应将这个合速度沿棒及垂直于棒的方向分解：
    （1）
设此时OB的长度为L′，则   （2）
若此时棒的角速度为ω，据圆周运动有
    （3）  =ωL     （4）
解以上四式得：=。

8.分解合成法  问题涉及较复杂的运动，可以考虑运动的分解合成交替使用，从而使问题得以解决。
例8：如图9，两杆A和B的交角为θ，分别以垂直于自身的和沿纸平面运动。求两杆交点O的速度大小。
解：设B杆不动A杆动，则交点O将沿B杆以速运动如图10，，设A杆不动B杆动，则交点O将沿A杆以速率运
动如图10，。实际是两杆同时运动，所以交点O的运动速度应是与的合速度：
。
（不可误认为是、的合速度。）
9.运用公式法：直接运用运动学有关公式求解。
例9：如图11，两个相同的正方形框架沿对角线方向分别以和2的速度朝两个相反方向匀速运动，则两边交点M的运动速度大小。
解析：框架均为匀速运动，交点M也必是匀速运动，因此可用公式求其速度。
若经过时间t，、刚好重合于O，则交点M将移至O点，从而
又，，所以.

二、面约束类 

两物体在运动时始终相互接触，这种情况为面约束。此时，两物体虽然可能沿接触面方向（即切线方向）有相对运动，但沿垂直于接触面方向（即法线方向）无相对运动，即两物体沿法线方向速度应相等。
1.速度相等法  由面约束特点即两物体沿法线方向速度相等直接求解。
例10：如图13，当M物体以VM竖直下落时，
物体m水平运动速度多少？
解析：M下落，m在M的斜面上滑动，属于面约束类问题，因此二者沿垂直于斜面方向速度相等。由图14有：Mcos=Msinv
所以得：M=Mtan

2.选取坐标法   选取适当的坐标，分析各自运动规律，建立对立关系求解。
例11：借助导向装置AB（图15）只沿垂直移动的轴支在与水平线所成角为的斜面上，斜面以速度向左匀速移动，求杆以多大速度升起。
解析：选取如图16所示的坐标系，斜面与轴各沿水平x方向和竖直y方向匀速运动。则斜面：x1=vt=s,  y1=0；而轴x2=0。y2=h=v轴t。任一时刻 y2=h=stan,即轴t=vttan,得轴=vtan.

三、投影约束类 

物体间既不通过绳（杆）直接相互联系而运动，也非通过接触面相互联系而运动，然而物体的运动类似物像相互制约的运动，相互间具有因果关系，或依附关系，伴随关系。


1.相似比法  借助几何知识“三角形相似对应边成比例”可方便地解决相关运动的问题。
例12:房间里在距墙壁d处有一点光源S，一个小球以速度0从S处沿水平方向向墙壁抛出，恰好落在墙角B处（如图17）下列说法正确的有：
A、影子作自由落体运动；B、影子作匀速直线运动；C、小球初速度0减小，影子速度增大，D、在0一定时，距离d增大，影子速度增大。
解析：设在时间t内，小球下落h，影子位移为y，根据相似三角形对应边成比例，有，即，，可见影子的速度 因为y∝t，或由影子速度为知，影子速度恒定，故影子作匀速运动；又因y∝,或v∝，所以应选择答案B、C、D。
平抛小球在竖直方向作自由落体运动，它在墙上的影子怎么会作匀速运动呢？原来，小球不仅在竖直方向上作自由落体运动，而且在水平方向上作匀速运动，并且小球恰好落在墙角处，影子的运动将完全不同，还应注意，本题所研究的是平抛出去的小球与它在墙上影子的运动的相关性，这里的影子是点光源形成的,如果是垂直于墙壁的平行光产生的影子，情况将有所不同。可见，在研究相关
运动中不同物体的运动量之间的关系时，必须仔细分析相关物体的联系方式和运动所受的限制条件。

2.分解法：根据运动的实际情况将运动进行正确分解，是一种常用的有效方法。
例13：如图18，与竖直墙壁PQ正对放置一块平面镜MN，位于墙上光源S发出一条光线SO，垂直射入平面镜O点，已知SO=L，当镜绕O点以ω的角速度逆时针旋转，转到θ角度时，光斑S′在墙上向下移动的即时速度是多大？
解析：在平面镜转动时，反射光线OS′段不断增长，同时又绕O点转动。因此，光斑下移的运动可以看成两个分运动的合运动：一个是沿OS′的“延伸”运动；一个是绕O点转动。把光斑下移速度分解成延伸速度2和转动速度1，则光斑下移速度为=。又，平面镜以ω角速度转动时反射光OS′的转动角速度为2ω，由得：，所以光斑下移速度。

3、等效法  将一个陌生的物理模型或问题转化为熟知的物理模型或问题的方法为等效法。在一些问题中，运用参照物的等效变换或坐标的等效变换解题，可化繁为简，化难为易。
例14：在一个湖岸为直线的很大的湖中，


一只船被风吹动从岸边开始沿与岸成θ角方向向湖中飘去，一个人在船刚开始离岸时，要追这只船，若人在岸上奔跑速度为1；在水中游泳速度为2，且水是静止的，1> 2。求船能被人追上时船的最大速度。
解析：如图19所示，本题的难点在于最优的下水点K和偏向角的确定，常规的求极值方法比较繁杂。如果将人在岸上跑和在水中游泳的追及过程等效为光在两种不同媒质传播模型，问题便可迎刃而解。由全反射规律及题设条件得：    ①
    ②          ③
               ④
由②③④式消t1、t2、t，再将①式代入得到

4、作图法：关于像的运动问题只涉及平面镜成像和透镜成像的运动规律，解决这类问题可用成像规律，运动学规律和有关几何知识，作图法是简便有效方法之一。
例15：如图20所示，一个点光源S，放在平面镜MN前，若MN不动，S以2米/秒的速度沿与镜面成600角的方向向右匀速直线运动，则：（1）像运动速度大小、方向如何？（2）在光源S上看，其像运动速度的大小、方向如何？
解析：（1）根据平面镜成像规律作出物S的像点的位置，当物从S移到O时，像将从移到O。由对称原理可知：O=SO，则像的运动速度为米/秒，方向沿O指向O（即与镜面MN成60°角）。
（2）在光S上看像的速度，实际上是求以S为参照物像点的速度。
设经过时间t后，物S运动到，像运动到，由对称关系可知，像物连线始终与镜面MN垂直，故相对S的运动方向沿S指向S。在时间t内，像相对物的位移为：
所以，像的相对速度为：
米/秒。方向指向S。

5、坐标法：为了便于描述物体相关运动，常选用合适的坐标系，这样就可将矢量运算转化成标量运算，使多功能解题思路转化，有水到渠成之功效。

例16：点P、P′最初相距为b，P以0作匀速直线运动，且二者运动方向垂直，试求P、P′连线中点Q在t时刻的速度大小和方向。

解析：以P点初位置为原点，P运动的方向为x轴正方向，P′运动的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图21。

t时刻，P的坐标（V0t，0），P′的坐标（0， ），那么由中点坐标公式得Q点坐标（， ），从而知Q对原点O的分位移表达式为

解得，方向（与X

轴正向夹角）.

6.矢量三角形法 利用矢量三角形求相关运动问题，不仅节省时间，直观、简捷、而且不易出错。

例17：在海上有A、B两船以速度V0沿MN直线从P点如图22所示方向匀速航行，同时B船从距直线MN为d的Q点匀速追赶上A船PQ=L，若能赶上A船，求B船最小速度。

解析：这是平面上追及问题，比直线上的追及问题显然要复杂得多，若用常规解法较繁。用矢量三角形解则直观简捷。取A船为参照物，则把A船看为不动的，要使B船匀速追上A船，B船相对A船的速度必须从Q指向P。设B船对地速度为u，作B船的速度矢量三角形如图22。当u与正交时，u才取极小值，故有

，方向为（图中QD方向）。

安徽 束义福

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作者简介：

束义福、男、毕业于安徽师范大学物理系。中学高级教师、特级教师。中国物理学会会员。中国教育学会物理教学研究会会员。中国发明学会会员。东方书画艺术学会理事。巢湖市中学高级教师职务评审委员会委员。中国管理科学研究院学术委员会特约研究员。

在《物理教学》、《物理通报》等二十多家省级、国家级CN报刊上发表文章200多篇，有的被中国人民大学书报资料复印中心全文收录。参编、主编教科研论著及教辅用书9部。多项成果获省级奖和国家专利。

安徽省特级教师。中国素质教育科研之星。

全国优秀教师。享受国务院特殊津贴。市专业技术拔尖人才。市首届学科带头人。

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