“方程式根式解”的那些事儿——《Abel-Ruffini定理》

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　　数学的历程中，很多问题的提出和陈述是初等的，但是它们的解决往往是高等的，有些甚至必须借助新的数学工具。代数方程根式解问题以及与之相关的三大尺规作图问题就是这样的著名例子。这种问题也恰恰是为大众所感兴趣的。

就“代数方程根式解问题”这个问题而言，抽象代数中的“伽罗瓦理论”给予了完整的解决。例如，B.L.范德瓦尔登的名著《代数学Ⅰ》中就有关于伽罗瓦理论的优美的较大篇幅的讲述，就其叙述方式和风格而言可以说是数学文献中的一个珍品！

然而对于初学者来说这样的作品不一定是适宜的！因为抽象代数中的伽罗瓦理论不再以根式解问题为中心，它是研究代数结构的（根式解问题无非是其众多应用中的一个），其抽象和繁杂程度远非初学者所能接受。所以伽罗瓦理论中经过一系列抽象理论推导后得到的结论——代数方程式可根式求解的充分必要条件是其伽罗瓦群可解——是不能令人满意的！它并不能揭开初学者心中的疑问：为什么五次及以上方程式一般不能有根式解？为什么方程式根式解问题的答案会与群有关？当然彻头彻尾地读一遍抽象代数似乎是可以解开谜底的，可是抽象代数中那种脱离“方程式求根”背景式的叙述着实让初学者望而却步。

所以又回到了问题的起点。毫不夸张地说高次（3，4，5次）方程式的求解问题是数学史上最精彩，最扣人心弦的篇章！十六、十七、十八以及十九世纪初年的最伟大的数学家们（菲罗、塔尔塔里亚、卡尔丹诺、笛卡尔、牛顿、欧拉、达朗贝尔、贝祖、拉格朗日、高斯、鲁菲尼、阿贝尔、伽罗瓦等等）都参与了其中，并创造了与这个问题有关的大规模的复杂理论。甚至数学历史上（或者说是科学的历史上）最悲剧、最富有传奇色彩的人物就出现在这个过程中——阿贝尔和伽罗瓦：极具才华，命运多舛，英年早逝！

因此非常有必要将这过程中一些数学家的重要工作呈现出来，事实上只有如此，才能将人类在整个根式解问题的探索过程中所体现那些数学文化，那些数学思想展示出来；也才能解开诸多最初的疑惑：方程式的根式解问题是怎么和置换发生关系的？一些初看起来并非自然的概念诸如群，正规子群等等是如何被引入数学的？为什么根式解问题的彻底解决，是通过那种初看起来有些奇怪的方式——利用根的置换（群）理论——解决的？

　　问题在于，上述内容的大部分正是现有的中文文献中所缺失的：

1.拉格朗日和伽罗瓦的原始工作：有几种民国时期的作品有这方面的叙述，例如，迪克森的《代数方程式论》（2011年哈尔滨工业大学出版社再度出版）；余介石、陆子芬的《高等方程式论》；马瑞的《葛罗华氏代数方程式论》等等。

这些作品都是用文言文写的，并且诸多专业名词也和现在的差别很大。读起来自然晦涩难懂！

　　2.阿贝尔的工作：如前所述，根式解问题的完全解答是由伽罗瓦给出的。伽罗瓦理论的影响是如此之深远，以至于现在几乎所有的教科书都是用伽罗瓦理论来说明一般五次方程是不可根式解的。阿贝尔的证明在标准教科书上已经很难找到了。

这对期望了解阿贝尔原始证明细节的读者来说不能不说是一个缺憾。

3.克罗内克的工作：克罗内克的定理的重要意义在于以较少的篇幅、并且不是特别抽象的方式提供一个（根式解5次及以上代数方程）不可能性的证明，同时还给出了这种方程的具体例子。

编者只在三个中文文献中看到①（德）海因里希.德里的《100个著名初等数学问题——历史和解》（罗保华等译）；②靳平的《数学的100个基本问题》；还有就是几年前出版的③冯承天的《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理：细说五次方程无求根公式》。

前两个文献关于这个的叙述有点相似，读起来感觉有些含糊不清！第三个文献则是整本书的目的就在于证明克罗内克的定理。

4.高斯关于分圆方程的工作：高斯的完整的工作过程在现有的中文文献中没怎么看到！基本的都只限于历史性质的介绍。

所有这些都促成了本书的编辑。本书是由五部分组成的，内容分为十二章。

第一部分是第1章和第2章，主要是根式解问题的提出与其发展的简单历史；二项方程式借助三角函数的解法以及二至四次一般方程式的根式解法。

　　第二部分（第3，4章）是为后面的部分作准备的，讨论域上多项式的性质，对称多项式的基本定理以及数域的扩张。

第三部分（第7章）是全书比较独立的一部分，主要讨论阿贝尔和克罗内克关于根式解四次以上方程式不可能性的证明（照顾到逻辑性，本书并未严格地按照历史发展的先后来叙述）。

　　第四部分（第5，6，8，9，10，11章）。这一部分主要讨论由拉格朗日创始然后由伽罗瓦发展的关于“利用根的置换理论来解方程式”的理论。这里读者将看到群、不变子群、商群、同态等概念的自然引入过程！在这一部分，我们还讨论了分圆方程式、循环方程式以及阿贝尔方程式的根式求解问题，历史上这是高斯和阿贝尔所研究过的。同时得出了方程式理论的最著名的结果：方程式解为根式的充要条件是其群可解。

　　最后，第五部分（第12章），是关于方程式的伽罗瓦理论的叙述。虽然书的前面部分可以说完全解决了方程式的根式解问题。但编者认为，以抽象的、简洁的方式再来叙述一下是比较合适的。

　　对于初学者来说，伽罗华群的概念是比较难理解的。因此我们给予了特别的重视：首先以足够明白的方式定义了这个概念（第八章§1），然后以伽罗华的原始做法给出伽罗华群的具体确定方式（第八章§2），最后还给出了操作性较强的伽罗华群的决定法（第八章§7）。

　　出乎很多人的意外，次数等于5或大于5的代数方程式都没有一般的根式解公式。这个划时代的结论主要是阿贝尔和鲁菲尼的贡献。我们的证明即是以阿贝尔的原始论文为基础的。

　　第十章主要讲解高斯关于分圆方程式的研究。由于用圆规直尺作正多边形的问题，高斯详尽地考察了所谓的分圆方程，在这一章，我们没有利用伽罗华理论而证明了分圆方程式借助根式的可解性（§3）。§4则呈现了分圆方程式的高斯的具体解法。

　　虽然阿贝尔证明了高于四次的一般方程是不能用根号解出，但是有多少种不同类型的特殊的任何次方程仍然是可以用根号解出呢?由于这个发现，关于用根号解方程的全部问题是在新的基础上提出来了，应该找出一切能用根号解出的那些方程，换句话说，就是找出方程能用根号解出的充分与必要的条件，这个问题是由天才的法兰西数学家埃瓦里斯特•伽罗瓦（Évariste Galois，1811-1832）解决的，而问题的答案在某种意义下给出了全部问题的彻底的阐明。

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