名师引领 专业成长（二）- -暨龙湾区数学教研员工作室第四次活动

拉

学生

老师

周长

拓展

数学

正方形

课堂

面积

点评

想象

6月5日，龙湾区小学数学名优教师高端研修班学员课堂研讨暨校本研训展示活动在龙湾区永中第二小学举行。本次活动特别邀请到全国著名特级教师朱乐平，龙湾区小学数学教研员工作室的学员及实践导师，各学校数学教研组长、骨干教师， 2016、2017级小学数学的新教师以及参加了此次活动。本次活动的主题为"基于儿童立场的研究"。

上午的活动分成两个板块，第一个板块《拓展课怎么上》.

首先是永中二小张赛男老师的拓展研讨课《一样不一样》，她引导学生在经历"想、猜、算、理"的过程中，不断想象平面图形通过旋转得到立体图形，在不断对比不同部分的体积大小中，培养了空间想象能力、提升思维水平。

然后是永中一小陈丽娜老师的拓展研讨课《玩转四连方》，陈老师引导学生在有序认识四连方之后，通过不断切换形式，去刺激学生对四连方的认识。

邹安琪的点评：

两节课有3个共性。

首先，都是用简单的素材开展学习和思考，思考在层层递进。张赛男的课中先用一张长方形的纸，再对折，最后对角线对折，形成的立体图形从圆柱到圆锥，逐步增加难度。陈丽娜的课是用四连方和4×4的纸，从拼四连方的基本图形到怎样铺满4×4的格子，学生在想象猜测中，形成直观想象能力。

其次，两节课都教给学生做数学的方法。分别关注"想象猜测计算说理"和"想象猜测验证，有序思考"。

最后，两节课都在核心素养上做足文章，充分发展学生的空间想象能力。

李惠琦的点评：

第一节课，张老师从一张长方形的纸，你能想到什么引入，学生展开联想。课堂始终围绕"想象猜测计算说理"四步骤展开，在呈现孩子计算的过程中，我们可以看到有用具体数字代入，也有用字母来表示。不同的学生用自己的方式来呈现自己的推理过程。张老师运用几何画板提高学生的空间想象能力，最后一个环节是否也可以运用几何画板给孩子再次直观的感觉。

严蒙蒙的点评：

听完两节课引发了我的思考，数学课要给学生留下什么？仅仅是知识吗？两堂拓展课都非常注重提升学生的数学素养，渗透数学思想方法，张老师的课以想象猜测计算说理四个环节贯穿始终，相信当课堂结束的时候，学生的学习并没有随之停止，以后遇到类似的问题，还能够利用今天课上学习的方法来解决。而陈老师的课堂更是关注学生的感受，与学生互动亲密自然，课堂语言轻松，值得我们学习。

柳森森的点评：

由四连方想到了我们常玩的俄罗斯方块游戏，数学拓展课程就应该从平常的生活中来，发掘其所具有的数学课内知识，才能形成能够激起学生兴趣的数学拓展课程。陈丽娜老师课堂上最常出现的一句话就是"你能想象吗？"这句话正是在潜移默化中培养孩子们的数学素养中的空间想象能力。如果每个老师都能在自己的几何课堂上多关注孩子们"你能想象吗？"几何问题将不再是问题。

徐玉燕的点评：

首先我要表达的是基础性课程和拓展性课程之间的关系：基础性课程占85%，拓展性课程占15%，拓展课程应该是为了夯实基础性课程。张赛男老师的《一样不一样》是在空间想象中再次巩固圆柱体积的计算，陈丽娜老师在玩转四连方中渗透有序思考的数学思想方法。接着，我们说说拓展性课程的素材，教材应该是我们最好的蓝本，这样我们就能把控拓展课的宽度和厚度。张赛男老师这节课的最初素材来源于人教版书上的练习题，而陈丽娜老师的素材来源于浙教版三上教材。其次，拓展性课程更应该是激发兴趣的课程，没有那么强的知识性。陈丽娜老师的《四连方》很好的诠释了这一点，让孩子先想象再验证，在活动中玩数学，动手做数学。

林炯毅的点评：

1.各个环节有序，节奏连贯。给出四连方的概念，紧接着有序找出所有四连方；通过游戏环节，巩固知识，激发学生兴趣。起到承上启下的作用。最后，对于运用四连方摆满正方形以及两两组合摆满正方形的重难点，运用合理想象与实际操作进行突破。

2.合理运用想象，发展学生思维。图形课所要达到的目的之一是发展学生的思维想象能力。而想象的过程是至关重要的。三年级的孩子逐渐从直观思维到抽象思维。本节课各个环节都渗透想象过程，尤其是摆满正方形环节，先让学生想象，再引导操作，丰富表象，使得知识的学习水到渠成。

包璐瑶的点评：

一、教学语言表达上：

激励性语言恰到好处。

在小组合作时会根据小组特点表扬：真会合作；很会倾听；很勇敢；语言感染性很强，符合三年级小朋友的心理特点。

二、课堂节奏把控上：

1、善于利用学生的的错例

在初摆四连方时，通过反馈学生错例明确四连方是由4个方形组成，明确重复类型；

2、善于把控关键步骤

有序摆四连方时，在学生有序讲述摆的过程中，教师会引导：慢一点，我们慢一点，先固定3个正方形……为什么不继续接出来，哦重复了！使学生掌握如何有序摆出所有四连方。

冯秋华导师的点评：

听了2节课，说三个想法。一.有料有货，干货满满。阿基米德说：给我一个支点，我就能撑起一个地球。这两节课一张小小的长方形、正方形，看似简单无物却有物，里面藏着数学的大乾坤。第一节课从长方形到立体图形，从二维到三维空间，结合图形的运动，既是巩固，整理，复习，更是学生空间思维的拓展。第二节课同样用正方形玩四连方，学生跟着这张纸思维在跳动而跳动，一次次的活动，一次次的推进。两节课真正做到了既有料又有货，学生的空间能力、思辩能力得培养满满。二.且思且行，且动且思。两节课的整体节奏都是在学生活动中进行的。思考与活动并进层层递进，从而走向深度。第一节课的"想、猜、算、说"从沿长边，短边，沿对折浅、对角形的活动达到了这节课"一样，不一样"的核心目标。第二节更是在学生的操作活动中环环紧扣，螺旋上升，以四连方为桥梁有趣又有料的把学生空间想象力的培养引向高处。三.余音缭绕，为我所用。这两堂拓展课带给我们的启示：1.拓展课要面向全体学生，学生毕竟有差异，需要深入浅出。学生学的是一节课，收获的应该是持续性，始终不变的数学素养。2.拓展课同样关注学生的学，学本课堂的理念不变，学生学习能力培养不变，而且更要有广度和厚度。3.拓展课的取材就在我们身边，为我所用，只要我们做个教学有心人。4.把材料这个支点形成一个拓展性的教案，运用在课堂，需要我们做大做强，需要我们个人的努力与团队的合作研究。我们有幸有大咖朱乐平老师的指导，有王老师的培养，相信我们的老师在拓展的路上越走越远！

两节课后工作室学员及导师对课堂进行点评。学员及导师们的观点提炼和流畅表达得到朱乐平老师的高度肯定。两节拓展课，结构合理，环节清晰，教师课堂语言简洁有效给朱老师留下深刻印象。

关于拓展课该怎么上的问题，在场的老师们都有满满的感悟，那么课内拓展课又该从哪些方面去思考呢？接下来是两节精彩的课内拓展课，下面是由教研员工作室第3、4小组成员的精彩点评：

关于刘康康老师的《长方形的周长与面积的练习》：

1、叶锐睿的点评：刘康康老师的语言简洁、精炼，把话语权交给学生。当学生有疑问时，他会把问题转回去，再去提问学生，让学生来回答学生的疑问，让学生去补充学生的结论。本节课从初步感知到精确计算，再到解决问题，层层递进，一步步引导学生更深入的去探索面积与周长的联系。

2、陈纬的点评：数学来源于生活，刘老师选用围篱笆的生活情境，运用数学知识解决生活问题，让孩子在探究中感受数学的价值。周长、面积是学生的薄弱知识，选用这堂课不仅可以夯实基础，还可以打通周长与面积的关系。刘老师在教学时，注重数形结合，让孩子在比较A、 B两个图形的周长、面积时，提议用具体数据计算，再行判断，无形中渗透了一种重要的数学方法--数形结合。

3、陈小奇的点评：刘老师的课思路清晰，在他的课中有观察、有操作、有探索、有交流、有概括。刘老师让学生在交流中产生问题，在实践操作和讨论中学习探索知识。例如，在肉眼无法观察长方形的周长和面积大小时，刘老师引导学生用计算验证，把课堂交给学生。同时刘老师善于利用学生材料，先出示长和宽无序的表格，再出示有序讨论长和宽的表格，让学生在对比中学会有序思考解决问题。

关于王约纳老师的《长方形的周长与面积》

1、周曼青的点评：王老师的这堂课利用数形结合的方式，让学生探究长和宽增加或减少时，周长面积的变化情况，引导学生从形的方面去研究，进行形象思维；从数的方面去分析，进行抽象思维，体会各种图形周长和面积的变化规律，感悟变与不变的数学思想，提升了学生的理性思维。王老师通过巧妙的设计，让学生经历自主的探究活动，在比较辨析中通过思考同样都是增加1，周长变化相同，面积变化有什么不同？以及一条边增加1厘米，另外一条边减少1厘米，出现的2种情况周长和面积的变化情况对比，通过层层递进的探究活动，发展学生的空间想象，推理能力和辩证思想。

2、游晓丹的点评：课的内容，将长方形的周长和面积两个易混的知识点整合，在巩固计算方法的同时，更易打通面积和周长之间的联系和区别。课堂中，王老师利用同一个长方形为载体，不再紧扣面积和周长的定义，而是使学生经历变与不变的探索、思考、想象、讨论等过程，避免了形式化地套用公式计算，真正地运用空间想象能力去解决问题。

3、周婷的点评：周长与面积是很容易混淆的两个概念，因为这两个概念是同时存在于一个图形中。因此，将两个概念同时进行教学实际上是需要勇气的。对于周长，王老师打破纯公式计算，在变化中发现两倍这一不变的变化规律，在这里，我有一个小小的建议，在教学周长环节，可以把涂色先去掉，避免混淆，对于观察和理解可能会更有利。对于面积，这里的面是一个狭义的面，王老师的这堂课在变化的过程中，将狭义的逐步拓展到学生脑海中广义的面，比如刚刚屏幕上都放不下的那个长方形。

4、徐梦田的点评：朱乐平老师在做的是一课研究，那么我认为王约纳老师这节课就是在做一题研究。1. 教学脉络清晰，层次分明：（1）回忆：长方形周长和面积的计算公式。（2）探究：长宽增加，周长和面积的变化。（3）拓展：一个增加一个减少，周长面积的变化。2. 教学内容合理，素材简洁：整节课围绕着一个长方形长与宽的变化，探讨周长与面积的变化，在辨析中巩固、区分长方形周长与面积的概念。

吴少春导师点评：数学课堂教学我们最怕变，因为变对学生和老师提出了很大的挑战，但王老师和孩子们以不变应万变展现了精彩的课堂，我认为本节课有以下几大亮点：

亮点一：选题取之有道

今天的拓展课教学内容是很有价值的，因为学生在学习了长方形和正方形的周长和面积之后，在课内外的练习中会经常碰到类似于今天课堂中变形的练习题，我们往往是碰到一个问题解决一个问题，但是在练习的反馈中结果是不尽人意的，出现老师教的很累、学生学得很难的状态。今天的拓展课学习内容源于教材、宽于教材、高于教材，王老师围绕着学生最近的发展区做文章，把长方形周长和面积拓展的学习内容串成珠，进行整合性的学习，解决了我们教学中的困扰，非常值得我们借鉴。

二、设计简约开放

课堂中，王老师紧扣两个核心任务：第一个任务：在长方形长和宽变化中探究周长的变化；第二个任务：在长方形长和宽的变化中探究面积的变化，组织学生活动，通过提出问题、尝试探究、反馈建模、寻根问题、拓展延伸，把复杂的问题简单化，让学生在探索中研究问题，不断地挑战思维、不断地突破原有的认知，感受长方形变形记。

三、重视数学建模

在教学长方形的长和宽的变化后，引导学生总结出计算出周长的方法。在面积的计算中更是注重引导学生的方法的引导，形成数学建模思想。

四、师生状态灵动。

当然这节课还要很多的亮点值得我们学习：

接下来我就关于这堂课谈谈自己的建议：

一、课一开始我个人建议先不用格子图，先让学生展开想象，再出现格子图进行验证，最后又到没格子图，从想象到验证再到抽象，是不是更利于学生空间能力的培养。

二、数学建模还可以再做足。

三、练习还可以更多样化，可以把图形问题迁移到方阵问题、数学计算的问题，这样使孩子的学习不仅有深度更有广度。

蔡月红导师点评：小学数学拓展课是对数学教材进行的扩充和延伸而展开的理堂教学，是基于数学学科，在课堂教学的基础上对知识内容、技能方法的拓展，促进学生更好地发展。刘老师这节课是在孩子们学习了周长和面积的内容之后进行教学的。

1.密切联系教材，以核心知识点拓展。  

我们在教学中经常有这样的困惑一一一道题反复练多次，仍有学生答错，有时将题目稍做修改，学生就不会，出现这种情况的本质是孩子们对数学核心知识并没有真正理解。刘老师的这节课就是针对学生最容易混淆出错的知识点"周长和面积"的关系出发，让学生思考周长相等面积有什么不同，进而展开拓展教学实现对这一知识的巩固、深化。 2.学习内容具有探究性。 数学教学并不仅仅是知识教学，更是智慧教学。这节课源于教材、宽于教材，于教材相比，它更具有探究性。刘老师通过引导学生研究周长一定，围成的不同的长方形面积的大小关系，学生经历猜想、列举、验证、比较发现等活动体会：当周长一定，围成的正方形长和宽越接近（正方形），面积越大。但为了突破这一思维定式，刘老师再次引导学生研究一面靠墙的情况，从而发现要想面积最大，不是围成正方形而是围成长是宽的两倍的长方形。

几点建议：

1.在课堂上应给予学生更多的时间进行探索，合理安排时间。在研究一面靠墙的这一问题，孩子们发现规律是比较难的，因此这里还可以让孩子们再进行列表、记录、比较，从而建立正确表象发现规律。

2.课堂中应尊重孩子的差异，允许学生呈现的探究结果从无序到有序

3.数学是严谨的，出示学生的计算结果之后应计算一下对错，再做发现得出结论会更好

朱乐平老师对老师的课堂教学和老师点评进行点评，他指出两位老师采用的素材非常好。他说好的素材，加上任务驱动，那么课的结构会合理。

下午的课堂由一节数学常态课和一节数学拓展课组成。两位男老师的展现出了他们的课堂特色，工作室第五小组的成员也对两节课做出了自己的点评。

第一堂课是来自周作日老师的《平均数》。

1.陈圆圆的点评：周老师的课堂教学设计简洁明了，分为四个大环节。环节一：初步理解平均数的意义。教学用"移多补少"和"先分后合"这2种数学方法求平均数，有助于学生理解平均数的意义。环节二：进一步理解平均数的意义。从学生认知冲突到引出平均的概念再到平均数的计算最后在平均数的估算中，体会到了平均数一定介于最大值和最小值的特点，有利于学生把握平均数的本质属性。环节三：深入理解平均数的意义。周老师利用3个罐子里的棒棒糖数量的变化，让学生充分感受到总数或者平均分的份数变化，会影响到平均数的大小，帮助学生理解影响平均数大小的元素。环节四：课堂小结，拓展延伸。学生在有趣的现实情境中感受平均数对我们的重要性，从知识与技能的学习过程中得到情感态度价值观的升华。

2.林拉洁的点评：周老师的《平均数》，作为课内常态课，我认为可以根据知识冰山模型去对照，即显性知识的落实和隐性知识的显现。本节课显现知识很明显，平均数的概念，意义，算法。上课5分钟大家很明显的发现，大部分孩子知道有平均数这东西，也知道怎么算。机智的周老师发现这一点，在平均数内涵做文章，把隐性知识显现。

一：从物出发，感受平均数在移多补少中产生。

二：从物到数，将数字用符号重组计算。渗透求平均数的是先总后分，是典型除法模型。

三：拓展练习分层发散。从纯数学的练习到生活的运用。从孩子们的笑声和精彩的发言中，隐性知识的显现很饱满……

那还要做些什么呢 ，期待在做的老师考虑平时的课怎么落实显性，怎么饱满隐性。

第二节是郑元成老师的拓展课《画正方形》。

1.刘剑的点评：这节课郑老师通过三个数学活动展开教学，第一个活动通过画正方形到如何描述正方形再到判断是不是正方形，最后到回顾正方形的特征，学生经历从形到形象的变化，从会做到即会做也会说的过程。第二个活动通过画一个和别人不一样的正方形，学生从大小上，从摆放位置上画不同正方形，丰富正方形的具体形象，从而打破常规正方形画法。第三个活动是对正方形的面积计算的完善，往常我们计算的正方形是一个面积单位平方数，而在这节课中郑老师引导孩子们把这样的思维定势给打破了，他通过让孩子试着画2平方厘米，再在几何画板演示3平方厘米正方形的画法，在打破定势之后再次帮助学生建立正方形面积的新认识。

2.张莱真的点评：对于郑老师的课，我最深的印象就是他给予学生充分的空间几何想象。活动三一开始，画出2平方厘米的正方形。我的第一反应是难道要引出中学开方的相关知识吗？然而，郑老师是给予学生一定的空间几何想象，学生的心中生成了一个模糊概念后，有想法，有思考，有求证，从想➡️猜➡️证，经历已知到疑惑到新认识的一个过程。这一过程也打破了我们之前学习正方形时规整方正的一个固有认识，对于面积不一定要通过边长✖️边长来进行计算。然后对3平方厘米的面积存在的推理和证明，也是对学生数学逻辑推理能力的有效提升。这一活动过程，对接下来五年级的图形的面积的计算也具有有效意义。同时，让我对于我们日常教学也有了反思，我们日常教学是不是在一定程度上局限了孩子的空间想象？

最后是永中二小两位老师带来的观点报告，报告中她们向大家介绍了学校教研组如何开展教学活动，如何帮助青年教师成长，如何在阅读中助力教师成长。张老师表示他们近几年一直坚持阅读朱乐平老师主编的《一课研究丛书图形与几何系列》，并以此为理论依据，展开数学教研活动，指导课堂实践。通过各个案例的讨论，明确面积单位教学的目标、了解学生的学习起点……通过对一节一节课的研究提高自身专业水平，总结经验，最终在各项比赛中获得了可喜的成绩。

课后，朱乐平老师对上课的老师给与了充分肯定，并对永中二小数学教研组活动的开展给与高度评价。期间，朱老师还与大家分享了自己的研训经验，表示教研组长作为一个学校教研活动的牵头人，务必要有想法、有规划对教师发展进行引领。

主持人卢兰兰老师，精彩的主持，精准的总结赢得在场老师阵阵掌声👏

最后，王小莲老师对学员的成长给予肯定，朱老师的支持表示感恩，并用"感受、思考、要求、发展"总结此次活动。

此次活动的开展，不仅是区小学数学名优教师高端研修班学员的课堂教学展示，也是为提升教师的主题研究能力，落实研究进度。更是对推进课堂变革和提升教育教学质量有着积极的促进作用。

（文：龙湾区小学数学教研员工作室第五小组）