高中数学课程标准（2017年版）必修课程内容

邵老师休闲学吧

函数

平面

向量

数学

理解

直线

运算

实例

复数

基本

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必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容。

必修课程共8学分144课时，表1给出了课时分配建议，教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。

表1　必修课程课时分配建议表

主题一　预备知识

以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。

【内容要求】

内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。

1．集合

在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。

内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。

（1）集合的概念与表示

①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。

②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

③在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（2）集合的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

（3）集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。

2．常用逻辑用语

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

内容包括：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定。

（1）必要条件、充分条件、充要条件

①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。

②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。

③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。

（2）全称量词与存在量词

通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。

（3）全称量词命题与存在量词命题的否定

①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。

②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

4．从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。

内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。

（1）从函数观点看一元二次方程

会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

（2）从函数观点看一元二次不等式

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集。

②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（参见案例1）。

主题二　函数

函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。

【内容要求】

内容包括：函数概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。

1．函数概念与性质

本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

内容包括：函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展。

（1）函数概念

①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质

①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

（3）*函数的形成与发展（[1]标有*的内容为选学内容，不作为考试要求。）

收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

2．幂函数、指数函数、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。

3．三角函数

三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

（1）角与弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（参见案例3）。

（2）三角函数概念和性质

（4）三角恒等变换

①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。

（5）三角函数应用

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（参见案例4）。

4．函数应用

函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习，可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。

内容包括：二分法与求方程近似解、函数与数学模型。

（1）二分法与求方程近似解

①结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系。

②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。

（2）函数与数学模型

①理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。

③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

主题三　几何与代数

几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。

【内容标准】

内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。

1．平面向量及应用

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。

内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用。

（1）向量概念

①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。

②理解平面向量的几何表示和基本要素。

（2）向量运算

①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）。

⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（3）向量基本定理及坐标表示

①理解平面向量基本定理及其意义。

②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。

④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。

⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。

（4）向量应用与解三角形

①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。

②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。

2．复数

复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。

内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示。

（1）复数的概念

①通过方程的解，认识复数。

②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。

（2）复数的运算

掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。

（3）*复数的三角表示

通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。

3．立体几何初步

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。

内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。

（1）基本立体图形

①利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

②知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。

③能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图。

（2）基本图形位置关系

①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。

◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

◆两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

（3）*几何学的发展

收集、阅读几何发展的历史资料，撰写小论文，论述几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

主题四 概率与统计

概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据，核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。

【内容要求】

内容包括：概率、统计。

1．概率

本单元的学习，可以帮助学生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解。

内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性。

（1）随机事件与概率

①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系（参见案例12）。了解随机事伴的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算。

②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率。

③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则。

④结合实例，会用频率估计概率。

（2）随机事件的独立性

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型，利用独立性计算概率。

2．统计

本单元的学习，可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法，通过具体实例，感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验。

内容包括：获取数据的基本途径及相关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体。

（1）获取数据的基本途径及相关概念

①知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等。

②了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性。

（2）抽样

①简单随机抽样

通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法。会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系。

②分层随机抽样

通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法。结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差（参见案例13）。

③抽样方法的选择

在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题。

（3）统计图表

如根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性。

（4）用样本估计总体

①结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义。

⑦结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义。

③结合实例，能用样本估计总体的取值规律。

④结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义（参见案例14）。

主题五 数学建模活动与数学探究活动

【内容要求】

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建摸活动是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。

数学建模活动的基本过程如下：

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。

数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展，在必修课程中，要求学生完成其中的一个课题研究．