我制作的单叶双曲面动画

湛

动画

母线

参数

代码

双曲面

图形

方程

单叶

曲面

直线

单叶双曲面是直纹面。其上有两组直纹，即两组直线组成的母线。

下面是我用数学软件Maple做的动画。动画演示一条直线在运动时生成单叶双曲面的过程。

参数方程

（我忘了这个参数方程的来源，应该不是我推出的。）

图形绘制原理:

当参数θ固定时，参数t的变动，便得到一条直母线（即每一个θ对应一条直母线）。

当θ从0变到2π，便得到所有直母线。

根据以上原理，可编写出以下绘制图形的Maple 代码。

动画的Maple代码

with(plots):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..10,v=0..0.01,thickness=2):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..5,v=0..0.01,thickness=2):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..10,v=0..0.01,thickness=2):

a:=1:b:=2.3:c:=2.3:phi:=0.6*Pi:

K:=80:for i from 1 to K do ti:=i*2*Pi/K:

qumian[i]:=plot3d([a*(cos(theta)+t*(cos(theta+phi)-cos(theta))),b*(sin(theta)+t*(sin(theta+phi)-sin(theta))),c*(2*t-1)],t=-0.6..2,theta=0..ti):

muxian[i]:=spacecurve([a*(cos(ti)+t*(cos(ti+phi)-cos(ti))),b*(sin(ti)+t*(sin(ti+phi)-sin(ti))),c*(2*t-1)],t=-1..2.2,thickness=3,color=red) od:

muxian:=display(seq(muxian[i],i=1..K),insequence=true):

qumian:=display(seq(qumian[i],i=1..K),insequence=true):

text:=textplot3d([4,4,-10,"XUXZ MAY2018"],color=grey):

display(muxian,qumian,x_axis,y_axis,z_axis,text,orientation=[28,56],lightmodel=light1,title="hyperboloid of one sheet",scaling=constrained);

产生曲面的代码：

with(plots):

a:=1:b:=2.3:c:=2.3:phi:=0.6*Pi:

qumian:=plot3d([a*(cos(theta)+t*(cos(theta+phi)-cos(theta))),b*(sin(theta)+t*(sin(theta+phi)-sin(theta))),c*(2*t-1)],t=0..1,theta=0..2*Pi,scaling=constrained,style=patch):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..4,v=0..0.01,thickness=3):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=3):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-0..4,v=0..0.01,thickness=3):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

text:=textplot3d([0,0,-4,"XUXZ MAY 2018"],color=grey):

display(qumian,text,xyz,orientation=[40,56],tickmarks=[4,4,4],title="hyperboloid of one sheet",axes=none,grid=[39,63],lightmodel=light1,scaling=constrained);

以下是Wikipedia给的参数方程

验证参数方程的正确性

图形的代码：

with(plots):

a:=1:b:=2.3:c:=5:

x:=(theta,t)->a*(cos(theta)-t*sin(theta)):

y:=(theta,t)->b*(sin(theta)+t*cos(theta)):

z:=(theta,t)->c*t:

qumian:=plot3d([x(theta,t), y(theta,t),z(theta,t)],t=-1..1,theta=0..2*Pi):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..4,v=0..0.01,thickness=3):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=3):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-0..4,v=0..0.01,thickness=3):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

text:=textplot3d([0,0,-4,"XUXZ MAY 2018"],color=grey):

display(qumian,text,xyz,orientation=[40,56],tickmarks=[4,4,4],title="hyperboloid of one sheet",axes=none,grid=[39,63],lightmodel=light1,scaling=constrained);

从不同角度观察曲面（手机拍摄）

动画的代码：

with(plots):

a:=1:b:=2.3:c:=5:

x:=(theta,t)->a*(cos(theta)-t*sin(theta)):

y:=(theta,t)->b*(sin(theta)+t*cos(theta)):

z:=(theta,t)->c*t:

K:=80:for i from 1 to K do ti:=i*2*Pi/K:

qumian[i]:=plot3d([x(theta,t),y(theta,t),z(theta,t)],t=-2..2,theta=0..ti):

muxian[i]:=spacecurve([x(ti,t),y(ti,t),z(ti,t)],t=-2.2..2.2,thickness=3,color=red) od:

muxian:=display(seq(muxian[i],i=1..K),insequence=true):

qumian:=display(seq(qumian[i],i=1..K),insequence=true):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..10,v=0..0.01,thickness=2):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..5,v=0..0.01,thickness=2):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..10,v=0..0.01,thickness=2):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

text:=textplot3d([4,4,-10,"XUXZ MAY 2018"],color=grey):

display(muxian,qumian,xyz,text,orientation=[28,56],lightmodel=light1,title="hyperboloid of one sheet",scaling=constrained);

演示直线生成曲面的过程（手机拍摄）

参考文献: Maple图形动画技术